1、132.2 空间两条直线的位置关系第1课时 平 行 直 线课程标准1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系2.进一步掌握用几何图形、数学符号表示空间直线之间的位置关系基础认知自主学习【概念认知】1空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义和理解 定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线 特点：异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内(2)空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有2.平行直线及基本事实4基本事实4：平行于同一条
2、直线的两条直线平行用符号表示为abbcac.3等角定理定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等【自我小测】1如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线()A12对 B18对 C24对 D36对【解析】选B.由基本事实易知共有18对2已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D以上结论都不对【解析】选B.条件中没有给出两个角的方向是否相同，所以有可能互补3已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3
3、l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】选B.两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确，A错误；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错4直线a与直线b为两条异面直线，已知直线la，那么直线l与直线b的位置关系为_【解析】以正方体为例，如图，当直线l位于图中两位置时，直线l与b的位置关系是相交或异面答案：异面或相交5如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形【
4、证明】因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EFAC，HGAC，EFHG12 AC，所以EFHG，EFHG，所以四边形EFGH是平行四边形学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A异面B平行C相交D以上都有可能【解析】选D.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中，但AD1BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1ABA.2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说
5、法错误的是()A.MN与CC1垂直 BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行【解析】选D.如图，连接C1D，在C1DB中，MNBD，故C正确；因为BB1BD，BB1CC1，所以CC1BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为ACBD，MNBD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MNBD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误3三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有()A.3对 B4对 C5对 D6对【解析】选A.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对4
6、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A平行 B相交C异面D相交或异面【解析】选D.画出图形，得到结论如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系综上可知5如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是()A矩形 B正方形C菱形 D空间四边形【解析】选C.因为E，F，G，H分别为各边的中点，所以EFAC，GHAC，EHBD，FGBD，EFGH12 AC，EHFG12 BD，所以四边形EFGH是平行四边形因为ACBD，所以EFEH，所以四边形EFGH是
7、菱形二、多选题6在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是()AM，N，P，Q四点共面BQMECBDCBCDMEQ D四边形MNPQ为梯形【解析】选 ABC.由中位线定理，易知 MQBD，MEBC，QECD，NPBD.有MQNP，所以 M，N，P，Q 四点共面，故 A 说法正确；根据等角定理，得QMECBD，故 B 说法正确；由等角定理，知QMECBD，MEQBCD，所以BCDMEQ，故 C 说法正确；由三角形的中位线定理，知 MQ12 BD，NP12 BD，所以 MQNP，所以四边形 MNPQ 为平行四边形，故 D 说法不正确7在四
8、棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BCDE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则()A.PQ12 MNBPQMNCM，N，P，Q四点共面 D四边形MNPQ是梯形【解析】选 BCD.由题意知 PQ12 DE，且 DEMN，所以 PQ12 MN，故 A 不正确；又 PQDE，DEMN，所以 PQMN，又 PQMN，所以 B，C，D 正确三、填空题8如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；DAHCBN.其中正确的结论为_(注
9、：把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】因为A，M，C，C1四点不共面，所以直线AM与CC1是异面直线，故错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故错误；同理，直线BN与MB1是异面直线，故正确；易得DAHCBN，故正确答案：四、解答题9已知E，E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点，证明：BECB1E1C1.【证明】如图，连接EE1，因为E，E1分别为AD，A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形所以A1AE1E.又因为A1AB1B，所以E1EB1B.因为四边形E1EBB1是平行四边形所以E1B1EB.同理，E1C1EC.又BEC与
10、B1E1C1的两边方向相同，所以BECB1E1C1.10如图，A是BCD所在平面外一点，M，N分别是ABC和ACD的重心，已知BD6.判断MN与BD的位置关系【解析】MNBD.理由如下：连接AM，AN并延长分别与BC，CD交于点E，F，由重心的定义知E，F分别为BC，CD的中点，连接EF.因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EFBD，且EF12 BD.又因为点M为ABC的重心，点N为ACD的重心，所以AMMEANNF21，所以MNEF，且MN23 EF，故MNBD.【综合突破练】一、选择题1已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC4，BD6，则()A1MN5 B2MN
11、10C1MN5 D2MN5【解析】选A.取AD的中点H，连接MH，NH，则MHBD，且MH12 BD，NHAC，且NH12 AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形三边关系，可得MHNHMNMHNH，即1MN5.2已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】选B.直线a，b分别在两个不同的平面，内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面和平面相交”，反之不成立所以“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件3(多选)在空间四面体ABCD中，如图，E，F，G，H分
12、别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为()A.EGFH BEFGH CEH与FG相交DEGHG【解析】选ABC.由题意知，EG12 BD，FH12 BD，所以EGFH，所以四边形EGHF为平行四边形，所以EGFH，EFGH.所以EH与FG共面且相交，故A，B，C正确，但EG不一定与HG相等二、填空题4在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF2，则GH_【解析】由题意知 EF12 AC，GH12 AC，故 EFGH，故 GH2.答案：25在空间四边形ABCD中，如图所示，AEAB AHAD，CFCB CGCD，则EH与FG的位置关系是
13、_【解析】在ABD中AEAB AHAD，则EHBD，同理可得FGBD.所以EHFG.答案：平行6如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)A1BA与D1CD的大小关系是_【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1BD1C.(2)由(1)及ABDC，根据等角定理可得A1BAD1CD.答案：(1)A1BD1C(2)A1BAD1CD三、解答题7已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点.求证：BFED1.【证明】如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，因为F为CC1的中点，所以BGC1F，所以四边形BGC1F为平行四边形，所以BFGC1，又因为EGA1B1，A1B1C1D1，所以EGC1D1，所以四边形EGC1D1为平行四边形，所以ED1GC1，所以BFED1.8如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.【证明】(1)在ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EHBD.同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又因为四边形EFGH是矩形，所以EHGH，故ACBD.
