1、131.3 直观图的斜二测画法课程标准1.掌握斜二测画法的步骤2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图基础认知自主学习【概念认知】1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则：(1)建系：在已知图形中取_的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy_，它们确定的平面表示水平面(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_于x轴或y轴的线段(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度_，平行于y轴的线段，长度为原来的_.互相垂直45一半不变平行2用斜二
2、测画法画空间图形的直观图，其规则是：(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz90，yOz90.(2)画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于点O，并使xOy_，xOz_，x轴和y轴所确定的平面表示水平面(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成_于x轴、y轴或z轴的线段(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原_，平行于y轴的线段，长度为原来的_45(或135)90平行长度不变一半【自我小测】1下面每个选项的2个边长为1的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可
3、得结论2如图，ABC是ABC的直观图，其中ABAC，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【解析】选B.由斜二测画法的规则可知ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC2AB.3已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，且两顶点不同侧，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A2 cm B3 cm C2.5 cm D5 cm【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为235(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.4如图所示，矩形OABC是水平
4、放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形的形状是_【解析】如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD2OD22 2 4 2(cm)，CDCD2(cm)，所以OCOD2CD2（4 2）222 6(cm)，因为OAOA6 cm，所以OAOC，故四边形OABC是菱形答案：菱形5利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论中，正确的是_(填序号).【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形答案：6用斜
5、二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图【解析】(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面：在面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE，FF都等于侧棱长(4)成图：顺次连线A，B，C，D，E，F，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方
6、形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】选D.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确2在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中A等于()A45 B135 C90 D45或135【解析】选D.因A的两边分别平行于x轴、y轴，故A90，在直观图中，按斜二测画法规则知xOy45或135，即A45或135.3已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图ABC的面积为()A 34 a2 B 38 a2C 68 a2D 616 a2【解析】选D.方法一：建立如图所示
7、的平面直角坐标系xOy.如图所示，建立坐标系xOy，使xOy45，由直观图画法，知ABABa，OC12 OC 34 a.过点C作CDOB于点D，则CD 22 OC 68 a.所以ABC的面积S12 ABCD12 a 68 a 616 a2.方法二：SABC 34 a2，而SABCSABC 24，所以SABC 24 SABC 24 34 a2 616 a2.二、填空题4水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为_【解析】由直观图知，原平面图形为直角三角形，且ACAC3，BC2BC4，计算得AB5，所求中线长为2.5.答案：2.55有一个长为5 cm，
8、宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为_cm2.【解析】该矩形的面积为S5420(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S 24 S5 2(cm2).答案：5 2三、解答题6如图，ABCD是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积【解析】由已知中ABCD是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为 2 的平行四边形故原图形的面积为2 2.7用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCDABCD的直观
9、图【解析】画法步骤：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN4 cm；在 y 轴上取线段PQ，使 PQ32 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A，B，C，D，则四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD 的直观图(3)画侧棱过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段 AA，BB，CC，DD.(4)成图顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，
10、就得到长方体的直观图【综合突破练】一、选择题1如图，RtOAB是一个平面图形的直观图，若OB 2，则这个平面图形的面积是()A1 B 2 C2 2 D4 2【解析】选C.由题图知，平面图形OAB为直角三角形因为OB 2，所以AB 2，OA2.所以在原OAB中，OB 2，OA4，所以SOAB12 2 42 2.2如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC3，BCx轴，则原平面图形的面积为()A36 2B36C18 2D18【解题指南】将直观图进行还原，得到原图形，进而求面积【解析】选A.在直观图中，设BC与y轴的交点为D，则易得OD3 2，所以原平面图形为一边长为6，高
11、为6 2 的平行四边形，所以其面积为66 2 36 2.二、填空题3如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图OABC，则在直观图中梯形的高为_【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图OABC，如图所示，原图形中梯形的高CD2，在直观图中CD1，且CDE45，作CE垂直于x轴于E，则CECDsin 45 22.答案：224在斜二测画法中，若一个正三角形的边长为2，则它的直观图的面积为_【解析】正三角形的面积S 34 22 3，SS 24，所以S 3 24 64.答案：645在斜二测画法中，若一个平面图形的直观图是一个上底为1，下底为3，直
12、角边长为2的直角梯形，则原平面图形的面积是_【解析】直观图的面积S13224，又SS 24，所以S S24 4248 2.答案：8 2三、解答题6如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示7用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图【解析】画法：(1)在图中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.(2)在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OE12 OE，分
13、别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GA12 GA，HD12 HD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图).(25分钟 45分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦弦者，葛之长”意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？(注：1丈10尺)()A21尺
14、B23尺 C27尺 D29尺素养培优练【解析】选D.如图，一条直角边(即木棍的高)长20尺，另一条直角边长7321(尺)，因此葛藤长202212 29(尺).2如图，平行四边形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA4，OC2，AOC30则下列叙述正确的是()A原图形是正方形B原图形是非正方形的菱形C原图形的面积是8 2D原图形的面积是8 3【解析】选C.过点C作y轴的平行线交x轴于点D如图(1)，OC2，COD30，CDO135，DCO15，由正弦定理可得 ODsin 15 2sin 135 DCsin 30，可得OD 3 1，DC 2，将直观图还原为平面图形，并过点C作OA的垂线
15、，垂足为D，如图(2)，则ODOD 3 1，CD2CD2 2，OC()2 2 231 2 122 3，OAOA4，显然OCOA，即原图形既不是正方形又不是菱形，原图形的面积为42 2 8 2.3若三棱锥P-ABC满足，PABC，PBAC，PCAB，则该三棱锥可能是()A.AB2，BC3，CA4 BAB3，BC4，CA5CAB4，BC5，CA6 D以上选项都不可能【解析】选C.在三棱锥P-ABC中，由PABC，PBAC，PCAB，将此三棱锥P-ABC放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为a，b，c，则AB2b2c2，CB2b2a2，AC2a2c2，在ABC中，cos BACAB2AC2B
16、C22ABACc2ABAC 0，角BAC为锐角同理可得ABC，ACB均为锐角则ABC为锐角三角形由cos ABCAB2BC2AC22ABBC2232422230，AB2CA2BC21636250，AC2BC2BA23625160，由余弦定理可得ABC的三个内角均为锐角，满足条件，故C正确，则D不正确4(多选)正方体的截面可能是()A钝角三角形B直角三角形C菱形D正六边形【解析】选CD.如图所示截面为三角形ABC，OAa，OBb，OCc，所以AC2a2c2，AB2a2b2，BC2b2c2，所以cos CABAB2AC2BC22ABAC2a22a2b2a2c2 0，所以CAB为锐角，同理ACB与A
17、BC也为锐角，即ABC为锐角三角形，所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A，B错误；若是四边形，则可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图截面过棱的中点时，则可以是正六边形，D正确二、填空题5(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段CD1上的动点，则|AE|DE|的最小值是_【解析】如图，取CD1的中点为P，连接AP，DP则由ACAD1，DCDD1知，APCD1,DPCD1，所以|AE|AP|，|DE|DP|，所以|AE|
18、DE|AP|DP|，在正方体中，棱长为2，所以AP 32 2 2 6，DP12 2 2 2，故当E在线段CD1上运动，E与P重合时，|AE|DE|有最小值 6 2.答案：6 2三、解答题(每小题10分，共20分)6如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图【解析】(1)如图(1)所示，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为E，G，H，F，在图(2)中画出相应的x轴和y轴，使xOy45；(2)在x轴上截取OEOE，作AEy轴，截取EA12 EA，确定点A.同理确定点B，C，D，其
19、中BG12 BG，CH12 CH，DF12 DF；(3)顺次连接A，B，C，D，去掉辅助线，得到四边形ABCD的直观图如图(3)所示7如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点(1)求绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离【解析】(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度因为圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，所以OBOBAB 510，母线长AB20 cm，代入可得OB20 cm，所以OA40 cm，OM30 cm.BOB，由25OB，解得2.所以AMOA2OM2 50()cm.即绳子的最短长度为50 cm.(2)过点O作OQAM于点Q，交BB于点P，则PQ的长度为所求最短距离因为OAOMAMOQ，所以OQ24 cm.故PQ24204(cm)，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
