1、荆州中学2019级高二年级上学期期末考试数学试题考试时间：2021年2月1日 考试用时：120分钟全卷满分：150分祝考试顺利一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 3. 若函数在上可导，且，则（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 5. 在三棱锥A-BCD中，已知AB、AC、AD两两垂直，且BCD是边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
2、A. 12B. 4C. 6D. 6. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影
3、响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是( )（精确到）.（参考数据）A 3.14B. 3.11C. 3.10D. 3.057. 已知焦点在轴上的双曲线，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是.若直线，的斜率分别是，且，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知函数，若将函数的图象向右
4、平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是( )A. B. 是图象的一个对称中心C. D. 是图象的一条对称轴10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）A. 函数的图象过定点B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的解析式为C. 若，则取值范围是D. 等差数列的前项和为，若，公差，则“”是“”的充分不必要条件11. 抛物线E：x24y与圆M：x2+（y1）216交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（）A 8B. 8.5C. 9D. 1012. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点
5、，下列结论正确的有（ ）A. 与所成角的余弦值为B. 过三点、的正方体的截面面积为C. 四面体的内切球的表面积为D. 正方体中，点在底面（所在的平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校为了解高二学生寒假期间学习情况，抽查了500名同学，0.12统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）.则这500名同学中学习时间在6至10小时之间的人数为_.14. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为_.15. 在边长为1的正三角形的边、上分别取点、两点，沿折叠后点可与上的点重合，则长度的最小值为_.16. 把正整数排列成如图甲的三角形数
6、阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，则（1）_；（2）若，则_四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，函数，.（1）当时，求函数的最小值和最大值；（2）设的内角，的对应边分别为，且，若，求，的值.18. 已知等比数列的公比，并且满足，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值.19. 如图甲，的直径，点，为上两点，且，为的中点.沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙）.（1）求证：平面；（2）
7、求二面角的余弦值.20. 荆楚湖北素有“板栗之乡”称号，但板栗的销售受季节的影响，储存时间不能太长我校数学兴趣小组对近年某食品销售公司的销售量（吨）和板栗销售单价（元/千克）之间的关系进行了调查，得到如下表数据：销售单价（元/公斤）1110.5109.598销售量（吨）568101114.1(1)根据前5组数据，求出y关于的回归直线方程;(2)若回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的差的绝对值不超过0.5（即），则认为回归直线方程是理想的，试问（）中得到的回归直线方程是否理想？(3)如果今年板栗销售仍然服从（）中的关系，且板栗的进货成本为2.5元/千克，且货源充足（未售完的部分可按成本全
8、部售出），为了使利润最大，请你帮助该公司就销售单价给出合理建议.（每千克销售单价不超过12元）.参考公式：回归直线方程，其中，.参考数据：21. 已知椭圆，是椭圆的左焦点，、是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的动点.其中的最小值是，的面积最大值是.（1）求该椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆相交于，两点.又点，记直线，的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.22. 已知函数（1）讨论函数在定义域内极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：荆州中学2019级高二年级上学期期末考试数学试题（解析版）考试时间：2021年2月1日 考试用时：120分钟全
9、卷满分：150分祝考试顺利一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据二次根式的被开方数大于等于零和分式不等式的解法求得集合A，B，再利用集合的交集运算可得答案.【详解】因为或，所以，故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查二次根式有意义的条件和一元二次不等式的解法，以及集合的交集运算，解分式不等式转化为整式不等式时一定要注意分母不为0，即，考查学生的运算能力，属于基础题.2. 若复数满足（是虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
10、析】由，得，利用复数除法运算法则即可得到结果.【详解】复数满足，故选：A.3. 若函数在上可导，且，则（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】由已知等式两边同时求导，取，求出的值利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题【详解】，,，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：，.故选C【点睛】本题考查导数的运算，求出的值是关键，属于中档题4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可得也称等比数列，设，表示出即可求出.【详解】是等比数列，也称等比数列，设，则，则，.故选：D.5. 在三棱锥A-BCD中，已知AB、AC、AD
11、两两垂直，且BCD是边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 12B. 4C. 6D. 【答案】D【解析】【分析】三棱锥的侧棱两两垂直，则底面为等边三角形，所以三棱锥可以补成正方体，且两者的外接球是同一个，求出正方体的外接球半径即可求出外接球的体积.【详解】解：由条件可知，三棱锥为正三棱锥，且可以补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的体对角线就是外接球的直径.设，则，即有，所以则三棱锥的外接球的直径为，则，所以体积.故选：D6. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，
12、48，192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是( )（精确到）.（参考数据）A. 3.14B. 3.11C. 3.10D. 3.05【答案】B【解析】【分析】圆内接
13、正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径，顶角为，根据圆面积，利用三角形面积公式，计算正二十四边形的面积，求解即可.【详解】由题意可知，单位圆面积，正二十四边形的面积.则.即.故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式，属于较易题.7. 已知焦点在轴上的双曲线，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是.若直线，的斜率分别是，且，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点，则，易得，然后由，得到，再根据点在双曲线上，化简得到求解.【详解】设点
14、，则，因为，是双曲线的两个顶点，所以,AP斜率为，的斜率，所以，即，因为点在双曲线上，所以，所以，所以，所以，则，即，所以故选：B8. 已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可判断是奇函数且在R上为减函数，不等式可化为，可得在恒成立，令，利用导数可得，即可求出.【详解】由解析式可得是奇函数，在R上为减函数，由得，即在恒成立，令，则，设，则，单调递减，即.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是判断是奇函数且在R上为减函数，得出在恒成立.二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题
15、5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是( )A. B. 是图象的一个对称中心C. D. 是图象的一条对称轴【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，先得到向右平移的解析式为，再得到，可得，可得的解析式，根据正弦函数的性质可知A,B,D正确.【详解】由题意，向右平移，得的图象关于轴对称，所以，又即则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴而，则C错，A,B,D正确故选：ABD【点睛】本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的
16、性质，属于基础题.10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）A. 函数的图象过定点B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的解析式为C. 若，则的取值范围是D. 等差数列的前项和为，若，公差，则“”是“”的充分不必要条件【答案】BCD【解析】【分析】多项选择题需要对选项一一验证:对于A:利用图像过定点(1,0),平移得到,分析可得;对于B:利用偶函数定义,求出时,的解析式,合并在一起即可;对于C:分类讨论,解不等式即可;对于D:分别从充分性和必要性两个方面分析即可【详解】对于A:因为恒过（1，0），所以恒过（1，0），平移得到恒过（1，-1），所以A错误；对于B:因为函数是定义在上的偶
17、函数，当时，当，即，所以B正确；对于C:当a1时,无解; 当0a1时,解得，所以C正确；对于D: 等差数列的前项和为，若，公差，因为,所以,而, ,充分性满足;必要性:取符合但不能推出,必要性不满足;所以“”是“”的充分不必要条件, 所以D正确；故选: BCD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证11. 抛物线E：x24y与圆M：x2+（y1）216交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（）A. 8B. 8.5C. 9D. 10【答案】BC【解析】【分析】过P作准线的垂线，垂足为H，
18、根据抛物线的定义，可得MNNH，的周长lNH+NP+MPPH+4，只需求得PH的取值范围即可得到结论【详解】如图所示，由，可得焦点坐标为，准线方程为，又由，可圆心坐标为，半径为，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MNNH故PMN的周长lNH+NP+MPPH+4，联立和，解得，所以PH的取值范围为（4，6）所以的周长PH+4的取值范围为（8，10），所以B，C，满足条件故选：BC【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置的应用，利用抛物线的定义和性质进行转化是解决本题的关键，意在考查学生分析解决问题的能力、转化思想，属于中档题12. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确
19、的有（ ）A. 与所成角的余弦值为B. 过三点、的正方体的截面面积为C. 四面体的内切球的表面积为D. 正方体中，点在底面（所在平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆【答案】AB【解析】【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角为与所成角的余弦值判断A的正误；同样设结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得，进而判断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求，进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断C的正误.【详解】A：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：，故正确.B：若N为的中点，连接
20、MN，则有，如下图示，梯形AMND为过三点、的正方体的截面，而，可得梯形的高为，梯形的面积为，故正确.C：如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，而四面体的棱长都为，有表面积为，若其内切圆半径为，则有，即，所以内切球的表面积为.故错误.D：正方体中，点在底面（所在的平面）上运动且，即的轨迹为面截以AM、AP为母线，AC为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线，构建如下空间直角坐标系，若，则， ，即，整理得，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面
21、积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校为了解高二学生寒假期间学习情况，抽查了500名同学，0.12统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）.则这500名同学中学习时间在6至10小时之间的人数为_.【答案】290【解析】【分析】由直方图中频率之和为1求，再由这500名同学中学习时间在6至10小时之间的人数为求值即可.【详解】由直方图知：，所以，这500名同学中学习时间在6至10小时之间的人数为名.故答案为：290.14. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为_.【答案】1或5【解析】【分析】先求出
22、圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出.【详解】圆心到直线的距离为，则弦长为，解得或5.故答案为：1或5.15. 在边长为1的正三角形的边、上分别取点、两点，沿折叠后点可与上的点重合，则长度的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，在三角形BDP中，由正弦定理可得，即可得出最值.【详解】设，则，在三角形BDP中，由正弦定理可得，即，当时，即DF垂直BC时，最小，最小值为.故答案为：.16. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，则（1）_；（2）若，则_【答案】 (1). 62 (
23、2). 1033【解析】【分析】（1）可先判断出位于第8行的第7个数，求出第8行的第一个数即可根据等差数列的特点求出；（2）可判断出在第45行，求出其在第45行的第43个数，即可求出.【详解】（1）由于，所以位于第8行的第7个数，因为第8行的第一个数是26+11+13=50，第8行是一个首项为50，公差为2的等差数列，故；（2），故在第45行，第45行第1个数是1937，即在第45行的第43个数，因此.故答案为：62；1033.【点睛】本题考查数列的应用，解题的关键是先判断出所求数字所处的位置，即可求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知
24、向量，函数，.（1）当时，求函数的最小值和最大值；（2）设的内角，的对应边分别为，且，若，求，的值.【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）【解析】【分析】由已知可得，（1）由知，即可求的值域，进而得到最值；（2）由条件知，结合三角形内角性质求角，结合正余弦定理有即可求，的值.【详解】由题意知：.（1），即的最小值是，最大值是（2），则，解得，由正弦定理得，由余弦定理得，即由，解得【点睛】关键点点睛：由向量数量积的坐标表示，并结合三角恒等变换、辅助角公式化简函数式，进而结合正弦函数的定义域求值域，确定最值；正余弦定理、三角形内角的性质求三角形的边长.18. 已知等比数列的公比，并且满足，成等
25、差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值.【答案】（1）；（2）所求的正整数的最小值为.【解析】【分析】（1）由公比，并且满足，成等差数列直接用基本量代换求数列的通项公式；（2）先求出，用分组求和法求出，解不等式即可.【详解】（1）因为数列是公比为的等比数列，又由成等差数列，所以，解得，从而数列的通项公式为.（2）， 又是递增的，当时， 当时， 所以所求的正整数的最小值为.【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)分组求和法进行数列求和适用于,分组后对和分别求和.19. 如图甲，的直径，点，为上两点，
26、且，为的中点.沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙）.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】解法一：(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)二面角问题，可以根据定义，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理找到二面角的平面角，然后求得.解法二：建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量证明（1）线面平行和求（2）中的二面角问题.【详解】（1）如图，连接CO，又为的中点，平面，平面，平面（2）过O作OEAD与E，连CE，平面ABC平面ABD平面ABD又平面ABD，平面CEO，则是二面角的平面角，由平面ABD，平面ABD，得为直角三角形
27、，.解法二：证明：（1），平面ABC平面ABD，平面ABD如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系，则，.，点为的中点，点的坐标为，即平面ACD，平面ACD，平面ACD（2），点的坐标，设二面角的大小为，为平面ACD的一个法向量由 有 即取，解得，.取平面的一个法向量，【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角问题，属中档题，证明线面平行时，要严格按照线面平行判定定理的条件说明，求二面角问题时，若使用几何方法，需要注意综合使用面面垂直，线面垂直的判定与性质定理进行证明和作图；利用空间向量方法时要首先利用面面垂直、线面垂直的有关定理证明相关线段互相垂直，然后
28、才能建立空间直角坐标系，证明线面平行时，也要注意说明直线不在平面内的条件，求二面角问题时要注意准确运算.20. 荆楚湖北素有“板栗之乡”称号，但板栗的销售受季节的影响，储存时间不能太长我校数学兴趣小组对近年某食品销售公司的销售量（吨）和板栗销售单价（元/千克）之间的关系进行了调查，得到如下表数据：销售单价（元/公斤）1110.5109.598销售量（吨）568101114.1(1)根据前5组数据，求出y关于的回归直线方程;(2)若回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的差的绝对值不超过0.5（即），则认为回归直线方程是理想的，试问（）中得到的回归直线方程是否理想？(3)如果今年板栗销售仍然
29、服从（）中的关系，且板栗的进货成本为2.5元/千克，且货源充足（未售完的部分可按成本全部售出），为了使利润最大，请你帮助该公司就销售单价给出合理建议.（每千克销售单价不超过12元）.参考公式：回归直线方程，其中，.参考数据：【答案】（1）（2）理想（3）7.5元/千克【解析】【分析】（1）根据表中的数据求出等数据，从而求出，值，进而得出回归方程；（2）根据（1）的方程可得y与x之间的相关关系，将代入回归方程，即可判断（1）中得到的回归直线方程是否理想；（3）写出销售利润W(千元)，利用二次函数的单调性或者基本不等式即可求出最大值.【详解】（1）因为 ,所以所以，所以关于x的回归直线方程为：.
30、（2）当时，则，所以可以认为回归直线方程是理想的. （3）设销售利润W(千元)，则， 因为所以 当且仅当，即时，W取得最大值. 所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.【点睛】本题考查了线性回归方程、数据分析等问题，解决问题的关键是正确运用题中所给出的数据.21. 已知椭圆，是椭圆的左焦点，、是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上的动点.其中的最小值是，的面积最大值是.（1）求该椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆相交于，两点.又点，记直线，的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，求出即可得出椭圆方程；（2）可得直线的斜率为0时，斜率不为0时
31、，设方程为，代入椭圆，可得，求出最大值即可.【详解】（1），解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率为0时，则；当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为，将代入，整理得则，又， 所以，令，则，当且仅当，即时，取等号，由可得，所求直线的方程为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证
32、：【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.【详解】（1）函数定义域为，当时，在上恒成立，函数在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（2）函数在处取得极值，令，则，可得在上递减，在上递增，即（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，显然函数在上单调递增，即，上单调递增，即，当时，有点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
