1、山南二高2019-2020学年高三第三次模拟考试数学(文科)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，监考人员将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知全集为 R，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合A, B对应的范围，即可求解.【详解】由题意知所以，
2、所以.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据复数的运算，求得复数z，再求其模长的平方即可.【详解】因为 所以 故选D【点睛】本题考查了复数的知识点，懂的运算求得模长是解题的关键，属于基础题.3. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A. 1.5小时B. 1.0小时C. 0.9小时D. 0.6小时【答案】C【解析】【分析】直接利用加权平均数公式求解【详解】解：由题意
3、得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为故选：C【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题4. 一个四棱锥三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的表面积为( )A. 4B. 2C. 22D. 6【答案】C【解析】【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，故底面的对角线长为2.所以四棱锥的高为21，故四棱锥的侧面高为h，则四棱锥的表面积为.故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何
4、体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型5. 执行如图的程序框图，输出的c的值为（ ）A. 5B. 4C. -5D. -4【答案】D【解析】【分析】执行一次运算k=k+1，判断是否成立，成立则执行用替换c，用b替换a，用c替换b，用k+1替换k，不成立输出c的值，然后再判断是否成立，依次判断执行.【详解】第一次执行，；第二次执行，；第三次执行，；第四次执行，；第五次执行，；第六次执行，；第七次执行，；，故该循环具有周期性，且周期为6，则输出的c的值为.故选：D【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，考查了模拟运算的能力，属于中档题.6. 记为等
5、比数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设公比为，则有，进而可求出，结合等比数列性质，可求出和.【详解】设公比为，则有，解得，则，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式及前项和公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项.【详解】，定义域为，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除两个选项.，排除D选项，故选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属
6、于基础题.8. 与直线平行的曲线的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，由可求得切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.【详解】设为切点，则切线的斜率为，解得，所以切点的坐标为.故切线方程为，即，故选：D.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.9. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数和对数的性质计算、的值，比较大小即可.【详解】因为单调递减，所以，因为是减函数，所以.因为在上单调递增，所以.因此易知，所以故选：D.【点睛】本题主要考查了利用指、对、幂函数的单调性比较大小，属于基础题，是常
7、考题型.10. 已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率【详解】设左焦点为， ，连接 则 ， ， ， 因，且经过原点所以四边形 为矩形在Rt中， ，代入 化简得 所以在Rt中，代入 化简得 ，即 所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题11. ，恰有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系内画出，的图象，转化为图象
8、有3个不同的交点的条件【详解】解：在同一坐标系内画出，的图象（如图）过点作的切线，设切点为，切线的斜率，切线方程为，点在切线上，要使恰有三个零点，则，故选：【点睛】本题考查函数零点的意义及个数求解函数与方程的思想利用函数的图象可以加强直观性，本题先由已知条件转化为判断两函数图象交点个数，再利用函数图象解决，属于中档题12. 函数的部分图象如图所示，关于函数有下述四个结论:；当时，的最小值为；在上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得函数的最小正周期，从而求出，再根据特殊点求出的值，得到函数的解析式，再对各个结论进行判断.【详解】
9、根据题意，得函数的最小正周期，所以，又易知，所以，又，所以，所以，正确，所以正确；当时，的最小值为，所以不正确；令，解得，所以的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，所以不正确故选:C【点睛】本题考查根据三角函数图像求解析式，考查函数 的性质,属于中档题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若向量，且，则实数_.【答案】【解析】【分析】求得平面向量的坐标，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.【详解】由已知可得，由，得，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.14. 命题“，”是
10、假命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则_【答案】4【解析】【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可
11、得答案.【详解】因为，且圆半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决16. 在中，内角所对的边分别是，且 ，则的面积为_.【答案】6【解析】【分析】由，可得，即，再由余弦定理可得，从而可得答案.【详解】由题设得，所以，所以，.所以，即.又，所以，所以，所以的面积.故
12、答案为：6【定睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.三、解答题解 (答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题17. 已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式
13、.（2）由（1）知 ，所以所以数列的前 项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题18. 在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；（2）求二面角的余弦值大小【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设，表示与，根据求；（2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值的大小.【详解】由题意可知底面，且，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐
14、标系因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以所以，（1）设，则，所以，若，则，解得，而，所以，所以（2）因为，设平面的法向量为，则，令，则，所以.而平面的法向量为，所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.【点睛】本题考查利用空间直角坐标系解决垂直和二面角的问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.19. 某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位：h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为9
15、2. （1）求n的值.（2）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数精确到0.01).（3）如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.【答案】（1）200；（2）13.64；13.83；（3）.【解析】【分析】（1）先由频率分布直方图可知每一组的频率和为1，列方程求出的值，从而可得的频率，进而可求出n的值；（2）用每一组的中间值乘以其对应的频率，
16、再把所得的积相加可得平均值，由频率分布直方图可知中位数在第3组，若设中位数为x，则，解方程可得中位数；（3）先利用分层抽样的方法计算出从和所选的人数，然后利用列举法列出从这5人中随机抽取2人的所有情况，进而可求出概率【详解】（1）由已知可得，.则，得.（2）这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值为：设中位数为x，则，得.（3）按照分层抽样的方法从内选取的人数为，从内选取的人数为.记二等奖的4人分别为，一等奖的1人为A，事件E为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”.从这5人中随机抽取2人的基本事件为，共10种， 其中2人均是二等奖的情况有，共6种，由古典概型的概率计算公式得.
17、【点睛】此题考查由频率分布直方图求平均数和中位数，考查分层抽样，考查古典概型的概率计算，考查分析问题的能力，属于中档题20. 焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点（1）求椭圆的标准方程；（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在满足条件,详见解析【解析】【分析】（1）根据所给条件列出方程组，求解即可（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可表示出、，则可求【详解
18、】解：（1）由已知可得，解得，所以椭圆的标准方程为（2）若直线的斜率不存在时，所以；当斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去y，得，所以因为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，得，解得，同理，因为，故，存在满足条件，综上可得，存在满足条件【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆综合问题，属于中档题21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）对函数求导得，再对分两种情况进行讨论，解不等式即可得答案；（2）先进行参变分离得，再构造函数利用导数研究函数的单调性，即可得答案；【详解】（1）
19、，当时单调减区间为，没有增区间，当时，当；当或.单调增区间为与，单调减区间.当时，对成立，单调增区间为，没有减区间.当时，当；当或时.单调增区间为与，单调减区间为.（2）即，当时，令则，令则，当，是增函数，.时，是增函数，最小值为.当时，显然不成立，当时，由最小值为知，不成立，综上a的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.（二）选考题 (请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.)22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标
20、原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为(为参数).()求曲线上的点到直线的距离的最大值；()过点与直线平行的直线与曲线 交于两点，求的值.【答案】（）；() .【解析】试题分析：（1）由直角坐标与极坐标互换公式，可得直线的直角坐标方程为，再由点到直线的距离公式及辅助角公式可求得最值（2）直线的参数方程为（为参数），代入曲线的普通方程为.由参数t的几何意义可得试题解析：()由直线过点可得，故，则易得直线的直角坐标方程为根据点到直线的距离方程可得曲线上的点到直线的距离，()由（1）知直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）.又易知
21、曲线的普通方程为.把直线的参数方程代入曲线的普通方程可得，依据参数的几何意义可知.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式实现普通方程与极坐标方程互化直线过定点P，倾斜角为，的标准参数方程，的几何意义是，直线上动点Q与定点P的距离，即23. 已知（1）在时，解不等式；（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根据绝对值三角不等式化为恒成立，或恒成立，再根据恒成立含义得实数的取值.【详解】（1）在时，.在时，；在时，无解；时，.综上可知：不等式的解集为.（2）恒成立，而，或，故只需恒成立，或恒成立，或.的取值为或.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
