1、1.5 函数 yAsin(x)的图象学习目标：1.理解参数 A，对函数 yAsin(x)的图象的影响；能够将 ysin x 的图象进行变换得到 yAsin(x)，xR 的图象(难点)2.会用“五点法”画函数 yAsin(x)的简图；能根据 yAsin(x)的部分图象，确定其解析式(重点)3.求函数解析式时 值的确定(易错点)自 主 预 习探 新 知1 对 ysin(x)，xR 的图象的影响2(0)对 ysin(x)的图象的影响3A(A0)对 yAsin(x)的图象的影响4函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义基础自测1思考辨析(1)y sin 3x 的 图 象 向 左 平 移 4
2、个 单 位 所 得 图 象 的 解 析 式 是 y sin3x4.()(2)ysin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的 2 倍所得图象的解析式是ysin 2x.()(3)ysin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的 2 倍所得图象的解析式是y12sin x()解析(1)错误ysin 3x 的图象向左平移4个单位得 ysin3x4sin3x34.(2)错误ysin 2x 应改为 ysin12x.(3)错误y12sin x 应改为 y2sin x.答案(1)(2)(3)2用“五点法”作 y2sin 2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A0，2，32，2 B0，4，2，34，
3、C0，2，3，4D0，4，3，2，23B 2x 应依次取 0，2，32，2，所以描出的五点的横坐标可以是 0，4，2，34，.3函数 yAsin(x)1(A0，0)的最大值为 5，则 A_.4 由已知得 A15，故 A4.4函数 y3sin12x6 的频率为_，相位为_，初相为_14 12x6 6 频率为1T122 14，相位为12x6，初相为6.合 作 探 究攻 重 难“五点法”作函数图象 用“五点法”画函数 y2sin3x6 在一个周期内的简图.【导学号：84352113】思路探究 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令 3x6取 0，2，32，2 即可找到五点解 先画函
4、数在一个周期内的图象令 X3x6，则 x13X6，列表X02322x 189518491118y02020规律方法 1.用“五点法”作函数 yAsin(x)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的点2用“五点法”作函数 yAsin(x)图象的步骤是：第一步：列表：x02322x2322 y0A0A0第二步：在同一坐标系中描出各点第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象跟踪训练1已知 f(x)1 2sin2x4，画出 f(x)在2，2 上的图象解 列表：x238883822x45420234f(x)211 211 22三角函数图象之间的变换(1)将函数 y 2cos2x3
5、 的图象向左平移3个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为_(2)将 ysin x 的图象怎样变换可得到函数 y2sin2x4 1 的图象？【导学号：84352114】思路探究(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式(2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移(1)y 2cos 2x3(1)y 2cos2x3 的图象向左平移3个单位长度，得 y 2cos2x3 3 2cos(2x)2cos 2x，再向下平移 3 个单位长度得 y 2cos 2x3 的图象(2)法一：(先伸缩法)把 ysin x 的图象上所有点的纵坐
6、标伸长到原来的 2倍，得到 y2sin x 的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得 y2sin 2x 的图象；将所得图象沿 x 轴向左平移8个单位，得 y2sin 2x8的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin2x4 1 的图象法二：(先平移法)将 ysin x 的图象沿 x 轴向左平移4个单位，得 ysinx4 的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得 ysin2x4 的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y2sin2x4 的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin2x4 1 的图象规律方法
7、 由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin x相位变换ysin(x)周期变换ysin(x)振幅变换yAsin(x)(2)ysin x周期变换ysin x相位变换ysinxsin(x)振幅变换yAsin(x)提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换，平移|个单位，这是很易出错的地方，应特别注意跟踪训练2(1)要得到 ycos2x4 的图象，只要将 ysin 2x 的图象()A向左平移8个单位B向右平移8个单位C向左平移4个单位D向右平移4个
8、单位(2)把函数 yf(x)的图象上各点向右平移6个单位，再把横坐标伸长到原来的2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是 y2sin12x3，则 f(x)的解析式是()【导学号：84352115】Af(x)3cos x Bf(x)3sin xCf(x)3cos x3Df(x)sin 3x(1)A(2)A(1)因为 ycos2x4sin2x4 2 sin2x4sin 2x8，所以将 ysin 2x 的图象向左平移8个单位，得到 ycos2x4 的图象(2)y2sin12x3 纵坐标伸长到原来的32倍y3sin12x3横坐标缩短到原来的12倍y3sinx3y3sinx633sinx
9、2 3cos x已知函数图象求解析式(1)已知函数 f(x)Acos(x)BA0，0，|2 的部分图象如图 1-5-1 所示，则函数 f(x)的解析式为()图 1-5-1Ay2cosx24 4 By2cosx24 4Cy4cosx24 2Dy4cosx24 2(2)函数 f(x)Asin(x)中 A0，0，|2，且图象如图 1-5-2 所示，求其解析式图 1-5-2思路探究 由最大(小)值求 A 和 B，由周期求，由特殊点坐标解方程求.(1)A (1)由函数 f(x)的最大值和最小值得AB6，AB2，所以 A2，B4，函数 f(x)的周期为22 44，又 0，所以 12，又因为点2，6 在函数
10、 f(x)的图象上所以 62cos122 4，所以 cos4 1，所以42k，kZ，所以 2k4，kZ，又|2所以 4，所以 f(x)2cos12x4 4.(2)法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅 A3，T56 6，所以2，又由点6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)620 得 3，所以 f(x)3sin2x3.法二：(方程法)由图象知，振幅 A3，T56 6，所以 2，又图象过点6，0，所以 f6 3sin26 0，所以 sin3 0，3k(kZ)，又因为|2，所以 k0，3，所以 f(x)3sin2x3.法三：(变换法)由图象知，振幅 A3，T56 6，所以 2，且 f
11、(x)Asin(x)是由 y3sin 2x 向左平移6个单位而得到的，解析式为 f(x)3sin2x6 3sin2x3.规律方法 确定函数 yAsin(x)的解析式的关键是 的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，已知)或代入图象与 x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点，0 作为突破口“五点”的 x 的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x；“第四点”(即图象的“谷点
12、”)为 x32；“第五点”为 x2.跟踪训练3已知函数 f(x)Asin(x)，xR其中A0，0，02 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为2，且图象上一个最低点为 M23，2，求 f(x)的解析式解 由最低点 M23，2，得 A2.在 x 轴上两相邻交点之间的距离为2，故T22，即 T，2T 2 2.由点 M23，2 在图象上得2sin223 2，即 sin43 1，故43 2k2(kZ)，2k116(kZ)又 0，2，6.故 f(x)2sin2x6.三角函数图象与性质的综合应用探究问题1如何求函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函
13、数 yAsin(x)和 yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于 x 轴函数 yAsin(x)对称轴方程的求法：令 sin(x)1，得 xk2(kZ)，则 x2k122(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图象的对称轴方程为 x2k122(kZ)；函数 yAcos(x)对称轴方程的求法：令 cos(x)1，得 xk(kZ)，则 xk(kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象的对称轴方程为 xk(kZ)2如何求函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数 yAsin(x)和 yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与 x 轴的交点函
14、数 yAsin(x)对称中心的求法：令 sin(x)0，得 xk(kZ)，则 xk(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图象关于点k，0(kZ)成中心对称；函数 yAcos(x)对称中心的求法：令 cos(x)0，得 xk2(kZ)，则 x2k122(kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象关于点2k122，0(kZ)成中心对称(1)已知函数 f(x)sinx3(0)，若 f6 f3，且 f(x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，则()A.23 B.143C.263 D.383(2)已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M34，0 对称，且在区间0，2 上
15、是单调函数，求 和 的值.【导学号：84352116】思路探究(1)先由题目条件分析函数 f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求 的值(2)先由奇偶性求，再由图象的对称性和单调性求.(1)B (1)因为 f6 f3，所以直线 x632 4是函数 f(x)图象的一条对称轴，又因为 f(x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，所以当 x4时，f(x)取得最小值所以432k2，kZ，解得 8k103，(kZ)又因为 T2366，所以 12，又因为 0，所以 k1，即 8103 143.(2)由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，f(x)在 x0
16、 时取得最值，即 sin 1 或1.依题设 0，解得 2.由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知sin34 2 0，即34 2k，解得 4k3 23，kZ.又 f(x)在0，2 上是单调函数，所以 T，即2.2，又 0，k1 时，23；k2 时，2.故 2，2 或23.母题探究：1.将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点 M34，0 对称，且在区间0，2 上是单调函数”改为“在区间32，2 上为增函数”，试求 的最大值解 因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)sin 0，又 0，所以 0因为 f(x)sin x 在 2，2 上是增函数所以32，2 2，2，于是0，32 22 2，解得
17、 013，所以 的最大值为13.2本例(2)中增加条件“1”，求函数 yf2(x)sin 2x，x8，8 的最大值解 由条件知 f(x)sin2x2 cos 2x由 x8，8 得 2x4，4，sin 2x 22，22yf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x(sin 2x12)254所以当 sin 2x12时 ymax54.规律方法 1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数 yAsin(x)和余弦型函数 yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数 yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数，当 k2(kZ)时为偶函数；对于函数 yAcos(x)，当 k(kZ)
18、时为偶函数，当 k2(kZ)时为奇函数2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 x 看作一个整体，可令“zx”，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间当 堂 达 标固 双 基1函数 y13sin13x6 的周期、振幅、初相分别是()A3，13，6B6，13，6C3，3，6D6，3，6B y13sin13x6 的周期 T2136，振幅为13，初相为6.2函数 f(x)12sinx
19、3 的图象的一条对称轴是()【导学号：84352117】Ax2Bx2Cx6Dx6C f6 12sin63 12sin2 12，所以直线 x6是函数 f(x)的图象的一条对称轴3函数 ycos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的 2 倍，得到图象的解析式为 ycos x，则 的值为_12 函数 ycos x纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍ycos12x.所以 12.4由 y3sin x 的图象变换到 y3sin12x3 的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移_个单位，后者需向左平移_个单位.【导学号：84352118】3 23 y3sin xy3sinx3横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y3sin12x3，y3sin x横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y3sin12xy3sin12x233sin12x3.5已知函数 f(x)3sinx26 3(xR)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象图 1-5-3解(1)列表：x3235383113x2602322f(x)36303(2)描点画图：
