1、第八篇第3节 一、选择题1设P是椭圆1上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10解析：由方程知a5，根据椭圆定义，|PF1|PF2|2a10.故选D.答案：D2(2014唐山二模)P为椭圆1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF260，则等于()A3BC2D2解析：由椭圆方程知a2，b，c1，|PF1|PF2|4.|cos 6042.答案：D3(2012年高考江西卷)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.BC.D2解析：本题考查椭圆的性质
2、与等比数列的综合运用由椭圆的性质可知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，又|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，故(ac)(ac)(2c)2，可得e.故应选B.答案：B4(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A.BC.D解析：|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10064210836，则|AF|6，AFB90，半焦距c|FO|AB|5，设椭圆右焦点F2，连结AF2，由对称性知|AF2|FB|8，2a|AF2|AF|6
3、814，即a7，则e.故选B.答案：B5已知椭圆E：1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：ykx1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()Akxyk0Bkxy10Ckxyk0Dkxy20解析：取k1时，l：yx1.选项A中直线：yx1与l关于x轴对称，截得弦长相等选项B中直线：yx1与l关于原点对称，所截弦长相等选项C中直线：yx1与l关于y轴对称，截得弦长相等排除选项A、B、C，故选D.答案：D6(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使，则该椭圆的离心率的取值范围为()A(0，1)BC.D(1,1
4、)解析：由题意知点P不在x轴上，在PF1F2中，由正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.由椭圆定义可知|PF1|PF2|2a，所以e|PF2|PF2|2a，解得|PF2|.由于ac|PF2|ac，所以有acac，即1e1e，也就是解得1e.又0e1，1eb0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为_解析：不妨设|F1F2|1，直线MF2的倾斜角为120，MF2F160.|MF2|2，|MF1|，2a|MF1|MF2|2，2c|F1F2|1.e2.答案：29(2014西安模拟)过点(，)，且与椭圆1
5、有相同焦点的椭圆的标准方程为_解析：由题意可设椭圆方程为1(mb0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析：由题意得(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，即4a22|PF1|PF2|4c2，|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|b29，b3.答案：3三、解答题11(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0，1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解：(1)由椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，且点
6、P(0,1)在C1上，可得故椭圆C1的方程为y21.(2)由题意分析，直线l斜率存在且不为0，设其方程为ykxb，由直线l与抛物线C2相切得消y得k2x2(2bk4)xb20，1(2bk4)24k2b20，化简得kb1.由直线l与椭圆C1相切得消y得(2k21)x24bkx2b220，2(4bk)24(2k21)(2b22)0，化简得2k2b21.联立得解得b4b220，b22或b21(舍去)，b时，k，b时，k.即直线l的方程为yx或yx.12(2014海淀三模)已知椭圆C：1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y kx交椭圆C
7、于A，B两点，在直线l：xy30上存在点P，使得PAB为等边三角形，求k的值解：(1)因为椭圆C：1(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点所以a，b1，椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线l：xy30的交点为P(0,3)，又因为|AB|2，|PO|3，所以PAO60，所以PAB是等边三角形，所以直线AB的方程为y0，当直线AB的斜率存在且不为0时，则直线AB的方程为ykx，所以化简得(3k21)x23，所以|x1|，则|AO|.设AB的垂直平分线为yx，它与直线l：xy30的交点记为P(x0，y0)，所以解得则|PO|，因为PAB为等边三角形，所以应有|PO|AO|，代入得，解得k0(舍去)，k1.综上，k0或k1.
