1、百校联盟2016年浙江省高考最后一卷（押题卷）理科数学(第三模拟)一、选择题：共8题1已知函数f(x)=,则满足f(a)=1的实数a的取值范围为A.1B.(-,1)C.(-,2)D.(-,1【答案】D【解析】本题主要考查分段函数的概念、函数求值以及分类讨论思想的应用,意在考查考生对基础知识的掌握情况.易知当a1时,f(a)=1;当a1时,由f(a)=1得,a=1,故选D. 2某四面体的三视图如图所示,则该四面体的六条棱中最长棱的长度为A.B.2C.3D.【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图等知识.本题要求考生能够根据给出的几何体的三视图,得到几何体的直观图及相关数据.由三视图可知该
2、四面体的直观图如图1所示,由图2可知BD=,BC=2.又AB=,AC=,所以该四面体的六条棱中最长棱的长度为2,故选B.图1图2 3在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则x|ax2+bx+c0”的逆命题、否命题、逆否命题中A.三个命题都真B.三个命题都假C.否命题真D.逆否命题真【答案】D【解析】对于原命题:“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则x|ax2+bx+c0”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题;但其逆命题:“若x|ax2+bx+c0,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax2+bx+c0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假
3、命题.故选D. 4如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2【答案】C【解析】本题主要考查函数的图象与性质及不等式的解法,考查考生分析问题、解决问题的能力.作出函数y=log2(x+1)的图象如图所示,得其与函数f(x)图象的交点为(1,1),结合图象可知不等式f(x)log2(x+1)的解集是x|-10,若目标函数z=2x+y的最小值为-4,则w=x2+(y+1)2的最大值为A.3B.5C.9D.16【答案】D【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.解答本题的关键是利用不等式组表示的平面区域
4、以及目标函数的最值确定实数k的值.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,数形结合知,z=2x+y在点A(-,0)处取得最小值,要使目标函数z=2x+y的最小值为-4,则-2=-4,解得k=3,所以该不等式组表示的平面区域是一个以A(-2,0),B(0,3),C(3,0)为顶点的三角形及其内部区域.将上述三点分别代入w=x2+(y+1)2,则分别有wA=5,wB=16,wC=10,故w=x2+(y+1)2的最大值为16,选D. 6过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点A.(2,1)B.(2,0)C.(2,-1)D
5、.(2,2)【答案】C【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系.解答本题时要注意利用直线与抛物线的位置关系以及直线互相垂直的特点,探求直线所过的定点.由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AP:y-1=k(x-1),与抛物线C:y2=x联立,消去x,得ky2-y+1-k=0,由根与系数的关系可得,yP=,即P()2,),同理可得Q(k+1)2,-k-1),所以直线PQ的斜率kPQ=,所以直线PQ:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通过对比可知,x=2,y=-1满足条件,即直线PQ恒过定点(2,-1),故选C. 7设平面向量a,b满足ab=0,且|a|=1,|b|=2,若c满足|
6、c-(4a-b)|=|2a+b|,则|c|的取值范围是A.+B.,2C.,2+2D.2-2,2+2【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的数量积、模的应用.解答本题时要注意利用a,b之间的位置关系以及模的关系,建立平面直角坐标系,并由此判断得到|c|的取值范围.因为ab=0,且|a|=1,|b|=2,不妨设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y).因为|c-(4a-b)|=|2a+b|,所以(x-4)2+(y+2)2=8,则c=(x,y)在平面上对应的点位于以(4,-2)为圆心,半径为2的圆上.因为|c|=,其表示圆上的点(x,y)与坐标原点的距离,所以|c|2-2,2+2,故选D. 8
7、设a,b,c0,且3a+4b+5c=6.若对任意的a,b,c,不等式+tx2+x在x(0,2上恒成立,则满足条件的正数t的最大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查基本不等式的应用.解答本题时要注意利用向量数量积的坐标表示得到正数a,b,c的等量关系,然后根据该等量关系构造不等式模型,利用基本不等式求解最值,最后利用不等式恒成立求解参数t的范围,并由此求得最值.因为a,b,c0,3a+4b+5c=6,所以+2=,当且仅当,即a+c=2(2b+c)=时等号成立,所以+的最小值为.由题意可得,tx2+x在x(0,2上恒成立,即t在x(0,2上恒成立.设k=,则tk2-k=(k-)2-恒
8、成立.因为k,所以当k=时,(k2-k)min=,所以t,即tmax=,故选A. 二、填空题：共7题9设全集为R,已知集合M=x|log4x1,集合N=x|x2-4x-50,则MN=,(RM)N=.【答案】(0,5(-,516,+)【解析】本题主要考查集合的交、并、补运算.解答本题时要注意先通过解对数不等式及一元二次不等式确定集合M,N,然后分别进行交、并、补运算.因为log4x1,所以0x0,b0),则=2,即b=2a,由c2=a2+b2得c=3a,所以离心率e=3,双曲线C的方程为=1,又双曲线C过点(,4),所以=1,解得a2=1,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.优解因为双曲线C的焦
9、点在x轴上,所以有=2,不妨设a=1,则b=2,c=3,所以双曲线的离心率e=3;由渐近线方程可设该双曲线的方程为8x2-y2=,其过点(,4),所以24-16=8,所以8x2-y2=8,即该双曲线的标准方程为x2-=1. 12已知首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,若对于任意的kn(k,nN*),满足Sk-n=Sk+n,则S2k=.【答案】0【解析】本题主要考查等差数列的前n项和及相关性质.解答本题时要注意利用等差数列的前n项和的相关性质,结合二次函数图象的对称性求解得到结论.由题意可得,等差数列的前n项和可表示为Sn=+,其对应的二次函数y=ax2+bx的图象是关于直线x=
10、-对称的抛物线,因为Sk-n=Sk+n,所以对称轴为x=k,即k=-.结合对应的二次函数的图象可知,S2k=0. 13已知正方形ABCD中,点A(2,1),C(6,-3).若将点A折起,使其与边BC的中点E重合,则点B的坐标为,该折线所在的直线方程为.【答案】2x-y-8=0或x-2y-5=0【解析】本题主要考查平面内直线、点的对称问题.解答本题时要注意利用正方形的两个顶点A,C的坐标,探求得到点B的坐标,进而得到点E的坐标,然后利用两点关于直线对称求得折线方程.因为A(2,1),C(6,-3),所以|AC|=4,B在直线x-y-5=0上,且满足点B到直线AC:x+y-3=0的距离为2,设B(
11、a,a-5),则=2,解得a=6或a=2,所以B(6,1)或B(2,-3).若点B的坐标为(6,1),则边BC的中点E(6,-1),此时折线所在的直线方程为y=2x-8;若点B的坐标为(2,-3),则E(4,-3),此时折线所在的直线方程为x-2y-5=0.故满足条件的折线所在的直线方程为2x-y-8=0或x-2y-5=0. 14已知平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,DAB=60,E,F在边CD,CB上,且满足.若将CEF沿EF折起,使得平面CEF与平面ABFED垂直,则直线AC与直线BE所成角的余弦值为.【答案】【解析】本题主要考查空间中直线与直线所成角的大小,考查考生的空间想象能力
12、.如图所示,过点C作COEF交EF于点O,则CO平面ABFED.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,4,0),C(-),E(-,4,0),则=(-),=(-,0,0),故cos=,故直线AC与直线BE所成角的余弦值为. 15已知函数f(x),xN*,f(x)N*,且满足:对所有的正整数m,n,都有f(m)f(n)=f(mn);若mn,则f(m)f(n);f(3)7,则f(3)的最小值为.【答案】9【解析】本题主要考查函数的概念和基本性质等基础知识,意在考查考生的转化与化归思想,考查考生的创新意识、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.显然,f(1)=1,令f
13、(2)=x,f(3)=y,f(5)=z.若y=7,则f(6)=f(2)f(3)=7x,f(8)=f(2)f(2)f(2)=x3,f(9)=f(3)f(3)=49,由条件知,7xx349,又xN*,得x=3;由f(9)=4916;由f(15)=f(3)f(5)=7zf(16)=f(2)4=81,得z12,矛盾.若y=8,则f(6)=f(2)f(3)=8xf(8)=x3f(9)=f(3)2=64,又xN*,得x=3;由f(9)=6421;由f(15)=f(3)f(5)=8zf(16)=x4=81,得z11,矛盾.若y=9,则f(6)=f(2)f(3)=9xf(8)=x3f(9)=y2=81,又xN
14、*,得x=4;由f(24)=f(2)3f(3)=64924;由f(125)=z3f(128)=x7=47,得zb0),直线l:x=s(-asa)与椭圆E交于M,N两点,且当直线l过椭圆E的右焦点F(1,0)时,|MN|=3.(1)求椭圆E的方程;(2)已知定点R(2a,0),直线MF与直线NR交于点S.求证:点S恒在椭圆E上;当MSR的面积最大时,求其内切圆的半径r.【答案】(1)根据题意可得点(1,)在椭圆E上,所以,得,故椭圆E的方程为+=1.(2)由(1)可得a=2,所以R(4,0).直线MN的方程为x=s,设M(s,t),N(s,-t),故3s2+4t2=12.当s=1时,直线MF与直
15、线NR交于点N(即点S与点N重合),此时点S在椭圆E上;当-2s0.(1)若a=2,求函数f(x)的单调区间及最值;(2)若对任意的x-2,恒有|f(x)|2成立,试求实数a的取值范围.【答案】(1)因为a=2,所以f(x)=-x2+4|x-1|=.作出其大致图象如图所示,易知函数f(x)的单调递增区间为(-,-2),1,2,单调递减区间为-2,1),(2,+).结合图象可知函数f(x)的最大值为f(-2)=8,无最小值.(2)解法一f(x)=-x2+2a|x-1|=,当x1时,函数图象对应的对称轴为x=a;当x1时,函数图象对应的对称轴为x=-a.若a2,则函数f(x)在-2,1)上单调递减
16、,在1,上单调递增.故要使|f(x)|2恒成立,则,此时无解.若1a2,则函数f(x)在-2,-a上单调递增,在(-a,1)上单调递减,在1,a上单调递增,在(a,+)上单调递减.故要使得|f(x)|2恒成立,则,解得,结合1a2知此时无解.若0a1,则函数f(x)在-2,-a上单调递增,在(-a,1)上单调递减,在1,上单调递减.故要使得|f(x)|2恒成立,则,解得,结合0a1,得a-1.综上可知,满足条件的实数a的取值范围是-1.解法二由|f(x)|2,得x2-22a|x-1|x2+2.记g(x)=2a|x-1|,作出函数y=x2-2和y=x2+2在-2,上的图象以及函数g(x)的大致图象如图所示.当函数g(x)=2a|x-1|的图象过点A(-2,2)时,a=,此时g()=2(-1)=,又()2-2-2,g()=2(-1)(-1)=-1,又()2-2-1()2+2,故a=-1满足题意.结合图象可得满足条件的a的取值范围是-1.【解析】本题主要考查含绝对值的函数的性质及不等式恒成立问题.解答时要注意利用去绝对值的方式,结合分类讨论思想求解实数a的取值范围.【备注】函数是高中数学的重点内容,也是难点内容,其中函数的单调性、最值、零点等是主要的考查方向,应用好函数图象是解决问题的关键,同时此类试题也兼顾考查函数与方程思想以及分类讨论思想,综合性较高,难度较大.
