1、12.2 复数的运算第1课时 复数的加减运算基础认知自主学习【概念认知】复数加、减法的运算法则及加法运算律(1)加、减法的运算法则设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,则z1z2_,z1z2_即:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).(ac)(bd)i(ac)(bd)i(2)加法运算律对任意z1,z2,z3C,有交换律:z1z2_结合律:(z1z2)z3z1(z2z3).z2z1【自我小测】1实数 x,y 满足 z1yxi,z2yix,且 z1z22,则 xy 的值是()A1 B2 C2 D1【解析】选 A.z1z2yxi(yix)xy(xy)i2
2、,所以xy2,xy0,所以 xy1.所以 xy1.2已知 i 是虚数单位,那么(3i)(12i)()A23i B4iC42i D43i【解析】选 D.(3i)(12i)43i.3复数(1i)(2i)3i 等于()A1i B1i Ci Di【解析】选 A.(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.4若复数 z 满足 z34i1,则 z 的虚部是()A2 B4 C3 D3【解析】选 B.因为 z34i1,所以 z24i,所以 z 的虚部是 4.5下面四个说法:0 比i 大;两个复数当且仅当其和为实数时,它们的虚部互为相反数;xyi1i 的充要条件为 xy1;任何纯虚数的平方都是负实数其中错误说
3、法的序号是_【解析】实数与虚数不能比较大小,故错误;两个复数当且仅当其和为实数时,它们的虚部互为相反数,正确;当 yi,xi 时,xyi1i,所以 xyi1i 时,不一定 xy1,故错误;若 zbi()b0为纯虚数,则 z2b20,故正确答案:6计算:(1)1312i(2i)4332i;(2)(55i)(2i)(34i).【解析】(1)1312i(2i)4332i1324312132i1i.(2)(55i)(2i)(34i)(523)(514)i10i.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1(2i)(3i)()A52i B55i C6i D65i【解析】选 A.(2i)(3i)52i.2已
4、知 z32i4i,则 z 等于()A1i B13iC1i D13i【解析】选 B.因为 z32i4i,所以 z4i3(32i)13i.3复数 z1i,z253i,若 z1zz2,则复数 z()A54i B52iC54i Di【解析】选 A.因为 z1zz2,所以 zz1z2i(53i)54i.4已知复数 z 为纯虚数,且 z4i1m3i()mR,则 z 为()Ai B3i C 3 i D2i【解析】选 A.由 z4i1m3i()mR,得 zm1i,所以 zi.5定义运算a cb dadbc,则i 21 i(i 是虚数单位)为()A3 B3 Ci21 Di22【解析】选 B.因为运算a cb d
5、adbc,所以i 21 ii212123.二、填空题6复数 z(52i)i2,则 z(14i)_;z 的虚部为_【解析】z52i(1)62i,所以 z(14i)62i14i56i.答案:56i 27若复数 z112 5i,且 z1zR,则复数 z1 的虚部为_;若 z 是纯虚数,则 z_【解析】z1 的虚部为 5,因为 z 是纯虚数,且 z1zR,所以 z5i.答案:5 5i8计算(32i)12i(ii2)_【解析】原式3121(211)i92 4i.答案:92 4i9设实数 x,y,满足以下关系:xyi35cos i(45sin),则 x2y2 的最大值是_【解析】因为 xyi(35cos)
6、i(45sin),所以 x2y2(35cos)2(45sin)25030cos 40sin 5050cos(),其中 sin 45,cos 35.所以(x2y2)max5050100.答案:100三、解答题10化简下列复数:(1)65i32i;(2)56i2i34i.【解析】(1)65i32i,6325i93i.(2)56i2i34i,523614i11i.11已知 z12ai,z243i,z3aai,aR,若 z1z2z3 为实数,求 a 值【解析】因为 z1z2z3(a4)(4a)iR,所以 a40,所以 a4.【综合突破练】一、选择题1设 z12i2,z252i,则 z1z2()A2i
7、B32iC3i D22i【解析】选 D.因为 z1213,z252i,所以 z1z222i.2设复数 z142i,z213i,则复数 z2z12 的虚部是()A4i B4i C4 D4【解析】选 D.z2z12(13i)42i214i,则其虚部是4.3(多选)若 z12ai,z22ai(aR),且复数 z1z2 的实部或虚部为零,则 a的值可能为()A3 B2 C1 D1【解析】选 CD.z1z22ai2ai(2a2)(1a)i.所以 2a20 或 1a0,所以 a1 或 a1.【光速解题】选 CD.求出 z1z2 后,把四个选项逐项代入,验证可立即得到答案二、填空题4已知复数 z1a23i,
8、z22aa2i,若 z1z2 是纯虚数,则实数 a_【解析】由条件知 z1z2a22a3(a21)i,又 z1z2 是纯虚数,所以a22a30,a210,解得 a3.答案:35若 f(z)z(53i),则 f3545i_【解析】f3545i355453i285 195 i.答案:285 195 i6若(a1)2i2(b1)i(abR),则(abi)(4i)_【解析】由题意a12,2b1,所以a1,b3,所以(13i)(4i)34i.答案:34i7已知 z1(3xy)(y4x)i(x,yR),z2(4y2x)(5x3y)i(x,yR).设 zz1z2,且 z132i,则 z1_,z2_【解析】z
9、z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i,所以5x3y13,x4y2解得x2,y1,所以 z159i,z287i.答案:59i 87i三、解答题8证明复数的加法满足交换律、结合律【证明】复数的加法满足交换律设 z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则有 z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i,z2z1cdi(abi)(ca)(db)i,因为 acca,bddb,所以 z1z2z2z1.即复数的加法满足交换律复数的加法满足结合律设 z1abi,z2cdi,z3efi(a,b,c,d,e,fR)有z1z2z3(abi)(cdi)(efi)(ac)(bd)i(efi)(ace)(bdf)i,z1z2z3(abi)(cdi)(efi)(abi)(ce)(df)i(ace)(bdf)i所以z1z2z3z1z2z3,即复数的加法满足结合律9已知复数 z11ai,z22a3i,z3a2i(aR).(1)当 a 为何值时,复数 z1z2z3 是实数?(2)当 a 为何值时,复数 z1z2z3 是纯虚数?【解析】(1)由题意,知 z1z2z3(1ai)(2a3i)(a2i)12aa2(a4)i.若复数 z1z2z3 是实数,则 a40,即 a4.(2)若复数 z1z2z3 是纯虚数,则12aa20,a40,即 a1.