1、衡水2019-2020届高考考前密卷(一)数学(理)注意事项：1，本试卷分第1卷(选择题)和第1卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.2，答题前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在本卡相应的位置.3，全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4，考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第1卷(选择题共60分)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合，然后取并集即可.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集
2、，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.已知、均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. B. 若，则的取值集合为（是虚数单位）C. 若，则或D. 一定是实数【答案】D【解析】【分析】对，取，即可判断出正误；对，由，则，；对，取，即可否定；对，设，利用复数的运算法则即可判断出正误【详解】对，例如取，则无意义，故错误；对，取，故错误；对，例如取，满足条件，故错误；对，设，则，所以是实数，故正确故选：【点睛】本题考查复数的运算法则、复数的相关概念，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.已知正实数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系内，分别作出函数的图象
3、，结合图象，即可求解【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象可得：，故选B【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题4.2019年5月22日具有“国家战略”意义“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省浙江省安徽省三省部分城市，简称“三省一市.现有名高三学生准备高考后到上海市江苏省浙江省安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答
4、案】B【解析】【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率【详解】4名同学去旅游的所有情况有：种恰有一个地方未被选中共有种情况；所以恰有一个地方未被选中的概率：；故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题5.已知函数的部分图象如图所示，点，则下列说法错误的是（ ）A. 直线是图象的一条对称轴B. 的最小正周期为C. 在区间上单调递增D. 的图象可由向左平移个单位而得到【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】由题意，函数的图象
5、过点，可得，即，即，因为，所以，即，又由点，即，可得，解得，所以函数的解析式为，令，可得，所以是函数的一条对称轴，所以A是正确的；由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得，所以B是正确的；当，则，根据正弦函数的性质，可得函数在区间单调递增，所以C是正确的；由函数向左平移个单位而得到函数，所以选项D不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）A.
6、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式求解.【详解】 则，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.已知的展开式中各项系数的和为，则该展形式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，由系数和求得，然后求得展开式中和系数，由多项式乘法法则得结论【详解】令则，展开式中含的项为，所以的系数为38.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，对多项式相乘问题，除要掌握二项展开式通项公式外还应掌握多项式乘法法
7、则8.执行如下的程序框图，则输出的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【详解】满足，执行第一次循环，；成立，执行第二次循环，；成立，执行第三次循环，；成立，执行第四次循环，；成立，执行第五次循环，；成立，执行第六次循环，；成立，执行第七次循环，；成立，执行第八次循环，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9.数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ）A. 99B. 103C. 107D. 198【答案】B【解析】【分
8、析】根据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列通项，再并项求和，将用表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由得，为等比数列， ，为奇数时，.为偶数时，只能为奇数，为偶数时，无解.综上所述，.故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.10.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,过的直线交双曲线右支于两点,且,若,则该双曲线离心率( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,可得与的关系,由双曲线的定义可得,解得|,然后利用,推出的关系,可得双曲线的离心率.【详解】设为双曲线右支上一点,由,在直角三角形中
9、 由双曲线的定义可得: 可得: 解得 在中根据勾股定理: 解得: 故选:C.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11.在三棱锥中,与均为边长为的等边三角形,四点在球的球面上,当三棱锥的体积最大时,则球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由与均为边长为的等边三角形,四点在球的球面上,当三棱锥的体积最大时,即面与面垂直,画出图像,求出此时的三棱锥外接球的半径,即可求得答案.【详解】当三棱锥的体积最大时,即面与面垂直画出立体图像:设外接圆圆心为,外接圆圆心为,外接
10、球的半径为,取中点为 等边三角形 又 面面垂直 面 面 与均为边长为的等边三角形 可得与外接圆半径为: 即 则 又 面,面 四边形是正方形, 在中有: 解得: 故外接球的半径为 球的表面积公式为: 故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.12.已知函数与的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对图中实线部分曲线为函数或其导函数的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间的关系进行分析，再结合图象得出不等式的解集.【
11、详解】若图中实线部分曲线为函数的图象，则虚线部分曲线为导函数的图象，由导函数的图象可知，函数在区间上的单调递减区间为，但函数在区间上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数的图象，则函数在区间上的减区间为，增区间为，合乎题意.由图象可知，不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.第11卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题据要求作答填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.为了防止受到核
12、污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X80)_.【答案】【解析】【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率，X的所有可能取值为320，200，80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算.【详解】由题意得该产品能销售的概率为,易知X的所有可能取值为320，200，80,40,160，设表示一箱产
13、品中可以销售的件数，则B，所以，所以P(X80)P(2) ，P(X40)P(3)，P(X160)P(4),故P(X80)P(X80)P(X40)P(X160)【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.14.已知的最大值为A，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2019x+），依题意可知A=2，|x1x
14、2|的最小值为T=，从而可得答案【详解】f（x）=sin（2019x+）+cos（2019x），=sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x，=sin2019x+cos2019x=2sin（2019x+），A=f（x）max=2，周期T=，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）f（x）f（x2）成立，f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=2，|x1x2|的最小值为T=，又A=2，A|x1x2|的最小值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题15.
15、设函数在定义域(0，+)上是单调函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先利用换元法求出，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题【详解】解：由题意可设，则，由得，对恒成立，令，则，由得，在上单调递减，在单调递增，故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题16.已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：（1）；（2）；（3）；（4）与的交点的轴上；（5）与交于原点.其中真命题的序号为_.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析
16、】（1）由、在抛物线上，根据抛物线的定义可知，从而有相等的角，由此可判断；（2）取的中点，利用中位线即抛物线的定义可得，从而可得；（3）由（2）知，平分，从而可得，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取与轴的交点，可得，可得出的中点在轴上，从而得出结论；（5）设直线的方程为，设点、，证明出、三点共线，同理得出、三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于、在抛物线上，且、分别为、在准线上的射影，根据抛物线的定义可知，则，则，即，则，即，（1）正确；（2）取的中点，则，即，（2）正确；（3）由（2）知，平分，由于，（3）正确；（4）取与轴的交点，则，轴，可知，即点为的中点，由
17、（3）知，平分，过点，所以，与的交点的轴上，（4）正确；（5）设直线的方程为，设点、，则点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，直线的斜率为，直线的斜率为，则、三点共线，同理得出、三点共线，所以，与交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分17.设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，.
18、(1)求，与;(2)若，求证:.【答案】(1)，;(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意得，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前项和可求，再将代入，利用等比数列通项公式求出，进而可得；（2）由，结合恒成立，即可得到，结合等差数列的前项和公式即可证明.【详解】(1)根据定义求解.由题易知解得，故，解得，则，.(2)由题可知，又，则，即成立.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的
19、血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设，试比较方案中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平
20、均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数).【答案】（1）见解析（2）390次【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则，求出个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；（2）由（1）计算出期望，令分别计算出均值后可得检验次数，从而可得结论【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为依题意可知，所以的分布列为：（2）方案中结合（1）知每个人的平均化验次数为：所以当时，此时人需要化验的总次数为次，时，此时人需要化验的总次数为次，时，此时人需要化验的次数总为次即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少而采用方
21、案则需化验次，故在三种分组情况下，相比方案，当时化验次数最多可以平均减少次【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查用样本估计总体，考查了学生的数据处理能力和运算求解能力19.如图，直三棱柱中，分别为，的中点（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为30，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接、，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出平面，由于为中点，可证出四边形为平行四边形，得出，从而可证出平面；（2）设，根据（1）可知，平面，则到平面距离，设到面距离为，根据三棱锥等体积法有，得，得，因为与平面所成的角为30，可求出，结合线面垂直的判定定理证
22、出平面，进而得出为二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值【详解】解：（1）取中点，连接、，平面，平面，而平面，平面，平面，为中点，四边形为平行四边形，平面（2）设，则，到平面距离，设到面距离为，由，得，即，得，因为与平面所成的角为30，所以，而在直角三角形中，所以，解得因平面，平面，所以，又平面，平面，所以，所以平面，平面，平面所以为二面角的平面角，而，可得四边形是正方形，所以，则，所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20.已知椭圆的左
23、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过且不垂直坐标轴的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在一点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.【答案】（1）;（2）,过程见解析【解析】【分析】（1）当是椭圆短轴顶点时，面积取得最大值，建立方程组可得（2）设直线方程，联立得若，则 ，得化简得【详解】（1） ，由椭圆性质知当时，面积最大.由题得： 解得所以椭圆方程为：（2）设直线方程为， 化简得 ，如图，作交延长线与点，易证得, 所以是的角平分线,则有 ， 化简得 所以存在点满足题意.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范
24、围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可求出函数的单调区间；（2）问题变形为，令，由题意得出，根据函数的单调性确定的范围即可【详解】（1），定义域为且.当时，则，则函数在上单调递增；当时，由，得，得.当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.此时，函数的单调减区间为，单调增区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调减区
25、间为，单调增区间为；（2）变形为，令，定义域为，且，.当时，对任意的，函数在区间上为增函数，此时，合乎题意；当时，则函数在上的单调减区间为，单调增区间为.（i）当时，即当时，则函数在区间上为增函数，此时，则函数在区间上为增函数.此时，合乎题意；（ii）当时，即当时，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，又，所以，函数在区间上单调递减，当时，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系
26、中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知与相切，求的值.【答案】（1）的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）将化为，两式平方相减，消去参数，求得的普通方程；代入极坐标方程，即可求出直线的直角坐标方程；（2）直线与曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，与相切，即可求解.【详解】解：（1）因为，两式相减，有，所以的直角坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）联立与的方程，有，消，得，因为与相切，所以有，解得：.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标
27、方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,23.已知，设函数，（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为2，证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当abc2时，f（x）|x2|+|x+2|+2，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为2，所以a+b+c2，进而利用柯西不等式即可证明不等式【详解】解：（1）解：（1）当abc2时，f（x）|x2|+|x+2|+2所以f（x）7或或所以不等式的解集为；（2）因为a0，b0，c0所以因为f（x）的最小值为2，所以a+b+c2【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题
