1、113 余弦定理、正弦定理的应用第1课时 余弦定理、正弦定理的基本应用基础认知自主学习解三角形中的常见术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线_时叫仰角,目标视线在水平视线_时叫俯角.上方下方术语名称术语意义图形表示方位角从正北方向_转到目标方向线所成的水平角,如点B的方位角为(如图所示).方位角的取值范围:0360.方向角指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东30,右图中表示南偏西60.顺时针1有一条与两岸平行的河流，水速为 1 m/s，小
2、船的速度为 2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A与水速成 45 B与水速成 135 C垂直于对岸D不能确定【解析】选 B.如图所示，AB 是水速，AD 为船速，AC 是船的实际速度，且 ACAB，在 Rt ABC 中，cos ABCABBC ABAD 22.所以ABC45，所以DAB9045135，则小船行驶的方向应与水速成135.2一海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30分钟后到达 B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A
3、10 3 海里 B10 2 海里C20 3 海里 D20 2 海里【解析】选 B.根据已知条件可知在 ABC 中，AB20，BAC30，ABC105，所以C45，由正弦定理有 BCsin 30 20sin 45，所以 BC20122210 2.3如图所示，在山底 A 处测得山顶 B 的仰角CAB45，沿倾斜角为 30的山坡向山顶走 1 000 m 到达 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为()A500 2 m B200 mC1 000 2 m D1 000 m【解析】选 D.可得SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS 中，ABASsin 135sin
4、 301 000 22121 000 2(m)，所以 BCABsin 451 000 2 221 000(m).4某人从 A 处出发，沿北偏西 60方向行走 2 3 km 到达 B 处，再沿正东方向行走 2 km 到达 C 处，则 A，C 两地的距离为_km.【解析】如图所示，ABC30，又 AB2 3，BC2，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBC cos ABC12422 3 2 324，AC2，所以 A，C 两地的距离为 2 km.答案：25海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东 75，距离为 12 6 海里；在 A 处看灯塔 C，在货轮的北偏西 30，距离为 8 3 海里；货
5、轮向正北由 A 处航行到 D 处时看灯塔 B 在南偏东 60，求：(1)A 处与 D 处之间的距离；(2)灯塔 C 与 D 处之间的距离【解析】由题意，画出示意图(1)在 ABD 中，因为ADB60，DAB75，所以 B45.由正弦定理得 ADABsin 60 sin 4524(海里).所以 A 处与 D 处之间的距离为 24 海里(2)在ADC 中，由余弦定理得 CD2AD2AC22ADAC cos 30242(8 3)22248 3 32(8 3)2，所以 CD8 3 海里所以 C，D 之间的距离为 8 3海里.学情诊断课时测评一、单选题1海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，
6、从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B，C 之间的距离为()A2 6 n mile B3 6 n mileC5 6 n mile D6 6 n mile【解析】选 C.在ABC 中，A60，B75，所以C45.因为 ABsin C BCsin A，所以 BCABsin Asin C10 32225 6(n mile).2.如图，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站C 的北偏东 20方向，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40方向，则灯塔 A 与 B 的距离为()Aa km B 3 a k
7、mC 2 a km D2a km【解析】选 B.在ABC 中，因为 ACBCa，ACB1802040120，由余弦定理可得 AB2a2a22aacos 1203a2，所以 AB 3 a.3某人向正东方向走 x km 后向右转 150，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么 x 的值是()A 3B2 3C2 3 或 3D3【解析】选 C.如图所示，在 ABC 中，ABx，BC3，AC 3，B30.由余弦定理，得(3)2x23223x 32，所以 x23 3 x60，解得 x 3 或 x2 3.4已知 A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，现测
8、得ABC120，则 A，C 两地的距离为()A10 km B 3 kmC10 5 km D10 7 km【解析】选 D.在ABC 中，AB10 km，BC20 km，ABC120，则由余弦定理，得 AC2AB2BC22ABBC cos ABC10040021020cos 1201004002102012700，所以 AC10 7 km，即 A、C 两地的距离为 10 7 km.5如图所示，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角CAD 等于()A30 B45 C60 D75【解析】选 B.依
9、题意可得 AD20 10(m)，AC30 5(m)，又 CD50(m)，所以在ACD 中，由余弦定理的推论得，cos CADAC2AD2CD22ACAD（30 5）2（20 10）2502230 520 10 6 0006 000 2 22，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.二、填空题6如图所示为一角槽，已知 ABAD，ABBE，并测量得 AC3 mm，BC2 2 mm，AB 29 mm，则ACB_【解析】在 ABC 中，由余弦定理得 cos ACB32（2 2）2（29）2232 2 22，因为ACB(0，)，所以ACB34.答案：347当太
10、阳光与水平面的倾斜角为 60时，一根长为 2 m 的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为_【解析】设竹竿与地面所成的角为，影子长为 x m由正弦定理，得2sin 60 xsin（120），所以 x4 33sin(120)，因为 30120120，所以当 12090，即 30时，x 有最大值故竹竿与地面所成的角为 30时，影子最长答案：308已知两座建筑 A，B 与规划测量点 C 的距离相等，A 在 C 的北偏东 40方向，B在 C 的南偏东 60方向，则 A 在 B 的_方向；C 在 B 的_方向【解析】因为 ABC 为等腰三角形，所以CBA12(18080)50，605
11、010.即 A 在 B 的北偏西 10方向因为 B 在 C 的南偏东 60方向，所以 C 在 B 的北偏西 60方向答案：北偏西 10 北偏西 609已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2c 3 a，b6，D是 AC 边上近 A 点的三等分点，且 2ABDCBD，则CBD_；BC_【解析】令1ABD，2CBD，在ABD 内，根据正弦定理可得 ADsin 1 BDsin A，在BCD 内，CDsin 2 BDsin C，两等式相除可得2sin 1sin 2 sin Asin C，又 2c 3 a，即 2sin C 3 sin A，则2sin 1sin 2 23 2si
12、n 12sin 1cos 1，cos 1 32，所以16，23，因此ABC2，则 AC2b2a2c2，则 3634 a2a2，所以 BCa12 77.答案：3 12 77三、解答题10如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的南偏西 75方向的 B1 处，此时两船相距20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 B2处，此时两船相距 10 2 海里问：乙船每小时航行多少海里？【解析】如图，连接 A1B2，由已知 A2B210 2海里，A1A230 2 2060 10 2 (海里
13、)，所以 A1A2A2B2.又A1A2B260，所以A1A2B2 是等边三角形，所以 A1B2A1A210 2海里由已知，A1B120 海里，B1A1B2180756045，在A1B2B1 中，由余弦定理得 B1B22 A1B21 A1B22 2A1B1A1B2cos 45202(10 2)222010 2 22200，所以 B1B210 2海里因此，乙船的速度为10 2206030 2(海里/时).所以乙船每小时航行 30 2 海里11在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距离 A 为 3 1 海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距离 A 为 2 海里的 C 处有一艘缉私
14、艇奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜(1)问 C 与 B 相距多少海里？C 在 B 的什么方向？(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间【解析】(1)根据题意作出示意图，如图则 AB 3 1，AC2，BAC120，在 ABC 中由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcos 1206，所以 BC 6，由正弦定理得ACsin ABC BCsin BAC，即2sin ABC 632，解得 sin ABC 22，所以ABC45，所以 C 在 B 的正西方向(2)由(1)知 BC 6，DBC120，
15、设 t 小时后缉私艇在 D 处追上走私船，则 BD10t，CD10 3 t，在BCD 中由正弦定理得 10 3tsin 120 10tsin BCD，解得sin BCD12，所以BCD30，所以BCD 是等腰三角形，所以 10t 6，即t 610.所以缉私艇沿东偏北 30方向行驶 610 小时才能最快追上走私船一、选择题1已知船 A 在灯塔 C 北偏东 85且到 C 的距离为 2 km，船 B 在灯塔 C 北偏西 65且到 C 的距离为 3 km，则 A，B 两船的距离为()A2 3 km B3 2 kmC 15 km D 13 km【解析】选 D.如图可知ACB8565150，AC2 km，
16、BC 3 km，所以 AB2AC2BC22ACBCcos 15013，所以 AB 13 km.2如图所示，D，C，B 在地平面同一直线上，DC10 m，从 D，C 两地测得 A 点的仰角分别为 30和 45，则 A 点离地面的高 AB 等于()A10 m B5 3 mC5(3 1)m D5(3 1)m【解析】选 D.方法一：设 ABx m，则 BCx m.所以 BD(10 x)m.所以 tan ADBABDB x10 x 33.解得 x5(3 1).所以 A 点离地面的高 AB 等于 5(3 1)m.方法二：因为ACB45，所以ACD135，所以CAD1801353015.由正弦定理，得 AC
17、CDsin CAD sin ADC10sin 15 sin 30206 2 (m)，所以 ABAC sin 455(3 1)m.3如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线 AC 匀速飞行在 A 处观测地面目标 A，测得俯角BAP30.经 2 分钟飞行后在 B 处观测地面目标 P，测得俯角ABP60.又经过一段时间飞行后在 C 处观察地面目标 P，测得俯角BCP 且 cos 4 1919，则该侦察飞机由 B 至 C 的飞行时间为()A.1.25 分钟B1.5 分钟C1.75 分钟 D2 分钟【解析】选 B.设飞机的飞行速度为 v，根据飞机的飞行图形，测得俯角BAP30，经过 2 分钟飞行后在 B 处观测
18、地面目标 P，测得俯角为ABP60，所以 ABP 为直角三角形，过点 P 作 PDAC 于点 D，则 AB2v，AP 3 v，BPv，解得 DP 3v2，设 CBxv，因为 cos 4 1919，可得 sin 1cos 2 5719，所以 tan 34，在直角PCD 中 tan 32 v12vxv 34，解得 x1.5，即该侦察飞机由 B 至 C 的飞行时间为 1.5 分钟二、填空题4甲船在岛 B 的正南 A 处，AB6 km，甲船以每小时 4 km 的速度向正北方向航行，同时乙船自 B 出发以每小时 3 km 的速度向北偏东 60的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_km.【解析】假设经过
19、 x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至 C，D，如图所示，可知BC64x，BD3x，CBD120，CD2BC2BD22BCBDcos CBD(64x)29x22(64x)3x12 13x230 x36.当 x1513 时甲、乙两船相距最近，最近距离为9 3913km.答案：9 39135如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到 A 处时测得公路北侧一山顶 D在北偏西 45的方向上，仰角为，行驶 300 米后到达 B 处，测得此山顶在北偏西 15的方向上，仰角为，若 45，则此山的高度 CD_米，仰角 的正切值为_【解析】设山的高度 CDx 米，由题可得CAB45，ABC105，AB300米
20、，CBD45.在 ABC 中，可得：ACB1804510530，利用正弦定理可得 ABsin 30 CBsin 45 ACsin 105，解得 CB300 2(米)，AC1506 2(米).在 Rt BCD 中，由CBD45可得：xCB300 2(米)，在 Rt ACD 中可得tan CDAC 300 21506 2 3 1.答案：300 2 3 16一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且此时它们相距 8 2 海里，此时的航速是_海里/小时【解析】在ABS 中
21、，易知BAS30，ASB45，且边 BS8 2，利用正弦定理可得 ABsin 45 BSsin 30，即AB228 212，得 AB16，又因为从 A 到 B 匀速航行时间为半小时，所以速度应为161232(海里/小时).答案：327甲船在 A 处发现乙船在北偏东 60方向的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 3 a 海里，问：甲船应沿_方向前进才能最快与乙船相遇？【解析】如图，设经过 t 小时两船在 C 点相遇，则在 ABC 中，BCat，AC 3 at，B18060120.由正弦定理得BCsin CAB ACsin B，则 sin CABBCsin BA
22、Cat sin 1203at323 12.因为 0CAB90，所以CAB30，所以DAC603030，即甲船应沿北偏东 30的方向前进才能最快与乙船相遇答案：北偏东 30三、解答题8某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域 ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区经测量，边界 AB 与 AD 的长都是 200 米，BAD60，BCD120(3 1.732 1，6 2.449 5).(1)若ADC105，求 BC 的长(结果精确到米)；(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).【解析】(1)连接 BD，则在 BCD 中 BD200，BDC45，
23、由BDsin BCD BCsin BDC，得：BC200sin 45sin 120200 63163，所以 BC 的长约为 163 米；(2)设CBD(03)，则BDC3，在BCD 中，由BDsin BCD BCsin BDC CDsin CBD，得：BC4003 sin 3，CD4003 sin，所以 BCCD4003 sin(3)sin 4003 sin 3，所以当 6 时，BCCD 取得最大值4003，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为4003400米，约为 631 米9某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20
24、海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S（30t）2202230t20cos（9030）900t2600t400 900t132300.故当 t13 时，Smin10 3，v10 31330 3(海里/小时).即小艇以 30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，如图所示由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得 v2400t2600t900400213()t4675.由于 0t12，即1t 2，所以当1t 2 时 v 取得最小值 10 13，即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里/小时
