1、皖江名校联盟2021届高三第二次联考数学（理科）本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
2、要求的.1. 已知全集，集合，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 2. 已知命题：，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 定积分（ ）A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 5. 已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 且D. 且6. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最
3、接近的是（ ）（注：）A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足，且当时，则满足的值（ ）A. 恒小于0B. 恒等于0C. 恒大于0D. 无法判断8. 对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 已知，则（ ）A. B. C. D. 10. 函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 11. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，若函数在区间上恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题
4、，每小题5分，共20分.13. 已知函数，则的值为_.14. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_.15. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，所以在上关于的方程恰有_个不同的实数根.16. 已知函数有三个极值点，则的取值范围是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，设：，成立；：，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.18. 已知函数在时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.19. 已知定义在上的函数是奇函数.（1）若关于的方程有正根，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立
5、，求实数的取值范围.20. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求在处的切线方程和的单调区间；（2）当时，求整数的最大值.21. 新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额（万元）在的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；补助款不低于原纳税额的.经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件的参数的取值范围.22. 已知函数.（1）若的最大值为-1，求的值；（2）若存在实数且，使得，求证：.2021届
6、高三第二次联考理数参考答案一、选择题1-5：AABDC6-10：DCBDD11-12：CA1.【解析】由Venn图知：阴影部分对应的集合为，即.故选A.2.【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题：，则：，.3.【解析】，故选B.4.【解析】由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越小，而当时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越大.可直接得出答案.5.【解析】因为命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，对于命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，所以，对于命题：表示椭圆，所以，解得且，综上：实数的取值范围是且.6.【解析】由题意，对于，得，得，
7、可得D中与其最接近.故选D.7.【解析】当时，则在内是增函数，由得的图象关于直线对称，在内是减函数.8.【解析】对，不等式恒成立.当时，则有恒成立；当时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选B.9.【解析】，因而，即，则，即；而，所以.选D.10.【解析】由已知，当时，当或，为单调函数，则或，故在上不单调时，的范围为，是充要条件，是充分不必要条件.故选：D.11.【解析】函数是定义在上的偶函数，可求得，函数，即周期为2，又由函数在区间恰有3个不同的零点，即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，又由，则满足且，解得.12.【解析】依题意，则，当时，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调
8、递减，故，则只需，故，解得，.二、填空题13.【答案】3【解析】，.，.14.【答案】【解析】因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，解不等式，得，解不等式，解得.：，：，所以，即.因此，实数的取值范围是.15.【答案】4【解析】，函数的周期为4.令，画函数的图像，则满足，恰有4个交点.16.【答案】【解析】，等价为有三个不同的实根，即，则，则，有两个不等于-1的根，则，设，则，则由得，由得且，当时，当时，作出图象，要使有两个不同的根，则满足，.三、解答 题17.【解析】若为真，则对，恒成立，设，配方得，在上的最小值为-3，解得，为真时，.若为真，则，成立，即成立.设，则在上是增函数，
9、的最大值为，为真时，.“”为真，“”为假，与一真一假.当真假时，.当假真时，.综上所述，.18.【解析】（1）函数，在区间上是增函数，故，解得.（2）由已知可得，则，所以不等式，转化为，在上恒成立.设，则，即，在，上恒成立，即：，当时，取得最大值，最大值为，则，即，的取值范围是.19.【解析】（1）由题意：，解得，再由，得，解得，当，时，定义域为，为奇函数，.（不验证，不扣分），即，有正根，.（2）由，得，所以，.令，则，此时不等式可化为，记，当时，和均为减函数，为减函数，故，恒成立，.20.【解析】（1）当时，；知，故可得切线方程为；设，令，解得，在区间单调递增，在区间单调递减，在上单调递减
10、.（2）时，恒成立，即：，恒成立.又，设，在区间单调递增，在区间单调递减，故.当，即时，故在单调递减.故，若满足题意，只需，解得.故；当，即时，在区间单调递减，且，1. 当时，此时在区间单调递减，要满足题意只需，解得，故此时只需.2. 当时，因为在区间单调递减，故一定存在，且使得在区间单调递增，单调递减.故要满足题意，只需，即.结合，只需，恒成立即可. 只需在时恒成立即可.显然是关于且开口向下的二次函数，无法满足题意.综上所述：满足题意的范围是.又因为，且，故满足题意的整数的最大值为2.21.【解析】（1）当时，所以，只要证明在为增函数且即可.，在为增函数；又由，可化为：，设：，因对称轴为且在为递减函数且，恒成立；（2）由条件可知，在上单调递增，所以当时，满足条件；当时，由可得，当时，单调递增，解得，由可知，即不等式在上恒成立，等价于.当时，取最小值12，综上，参数的取值范围是.22.【解析】（1）根据题意可得的取值范围为，若，则，所以在上单调递增，无最值，不合题意；若，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故的最大值，解得，符合题意.综上，.（2）若，则由（1）知，所以函数在上单调递增，在上单调递减.若存在实数，使得，则介于，之间，不妨设，在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时， ，由，可得，故，又在上递增，且，所以，所以.同理.所以，解得，不等式得证.
