1、第一节空间几何体的结构及其三视图、直观图1.(2014新课标全国，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱解析由题图可知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱，故选B.答案B2.(2014新课标全国，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B.C. D.解析由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个
2、底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V122432234，原来的圆柱体毛坯的体积为V32654，则切削掉部分的体积为V2543420，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为.故选C.答案C1.(2015北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C. D.2解析四棱锥的直观图如图所示，PC平面ABCD，PC1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA.答案C2.(2015重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2 B.C. D.解析该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为V1221
3、212.答案B3.(2015陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3 B.4C.24 D.34解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S212212222443.答案D4.(2015浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A.8 cm3 B.12 cm3C. cm3 D. cm3解析由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面为边长为2 cm正方形、高为2 cm的四棱锥组成，VV正方体V四棱锥8 cm3 cm3 cm3.故选C.答案C5.(2015福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面
4、积等于()A.82 B.112C.142 D.15解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱.S表2(12)12121222112，故选B.答案B6.(2014辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8 B.8C.8 D.82解析该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V2312228，故选C.答案C7.(2014浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3 C.108 cm3D.138 cm3解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积VV四棱柱V三棱柱46343390(cm3).
5、答案B8.(2013四川，2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A.棱柱 B.棱台C.圆柱 D.圆台解析从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台.答案D9.(2013湖南，7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A. B.1C. D.解析如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为AA1C1C.又因AC，故其面积为.答案D10.(2013山东，4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正
6、方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A.4，8 B.4，C.4(1)， D.8，8解析由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为.所以该四棱锥的侧面积为424，体积为222，故答案为B.答案B11.(2013广东，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A. B.C. D.1解析由三视图可知该三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2.由锥体的体积公式可知V112.故选B.答案B12.(2013江西，8)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2009 B.20018C.1409 D.14018解析该几何
7、体的直观图是由一个长方体和圆柱的一半所组成的(如图).其中长方体的长、宽、高分别为10、4、5，圆柱的底面半径为3，高为2.从而该几何体的体积V10543222009，故选A.答案A13.(2013辽宁，10)已知直三棱柱ABCABC的6个顶点都在球O的球面上.若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B.2C. D.3解析由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体的三条棱长为3、4、12，又三棱柱的外接球即为长方体的外接球，(2R)23242122132，R.故选C.答案C14.(2015天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_
8、m3.解析由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，因此该几何体的体积V2121122.答案15.(2014北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_.解析三视图所表示的几何体的直观图如图所示.结合三视图知，PA平面ABC，PA2，ABBC，AC2.所以PB，PC2，所以该三棱锥最长棱的棱长为2.答案216.(2013陕西，12)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.解析由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为412123.答案317.(2012湖北，15)已知某几何体的三视图如图所示，则该几
9、何体的体积为_.解析该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V222112412.答案12多面体棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的多边形旋转体圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边所在直线旋转得到圆锥圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到一种计算方法：根据几何体结构特征，利用相似三角形中的相似比进行有
10、关量的计算.(1)用一个平行于圆锥SO底面的平面截圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，圆锥SO的母线长为16 cm，则截得圆台母线长为_.解析如图易知，SA4，AASASA16412(cm)即圆台母线长为12 cm.答案12 cm三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中
11、长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变三视图的几点注意.(2)三视图的排放位置，正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图下边.注意虚实线的区别.画三视图的规则：长对正、宽平齐、高相等一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为_.解析由俯视图知有两个不等大的正六边形面，侧视图、正视图中出现了梯形，故是正六棱台.答案正六棱台斜二测画法几点注意.(3)注意原图与直观图中的“三变、三不变”：“三变”“三不变”原图形面积S与
12、其直观图面积S之间的关系为SS在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCD为_，面积为_cm2.解析由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案矩形8 由空间几何体的直观图识别三视图方法突破空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，
13、再确定几何体的形状，即可得到结果.【例1】 (1)(2016贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用代表图形)()A. B.C. D.(2)(2013新课标全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析(1)正视图应是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图应是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上
14、到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是，俯视图应是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是，故选B.(2)在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图，如图，设O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于OABC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.答案(1)B(2)A点评首先确定直观图中的关键点，找出各点在投影面的位置，从而画出各视图的形状. 由三视图还原直观图求解方略1.还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.2.注意图中实、虚线，实
15、际是原几何体中的可视线与被遮挡线.3.想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体.4.找出几何体中的平行垂直关系.【例2】 (1)(2016内蒙古赤峰模拟)如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.2 B. C.2 D.3(2)(2016五岳联考阶段检测)某几何的三视图如图所示，则下列数据中不是该几何体的棱长的是()A.2 B.C.3 D.解析(1)几何体的直观图如图，其中平面ABD平面BCD，ABD为等腰直角三角形，AB2，BD2，BCD是以BD为底边的等腰
16、三角形，C到BD的中点的距离为2，BCCD，AC3.AD2，显然所有棱中，AC最长，长为3，故选D.(2)由三视图可知，该几何体是高为4，底面是斜边为4的等腰直角三角形的三棱锥，计算可得3不是该几何体的棱长，故选C.答案(1)D(2)C点评首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉；其次，明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.三视图识图不准确致误【示例】 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B
17、1C被遮挡应为虚线.故选B.答案B易错防范已知三视图中的某两个，求余下一个的三视图的方法：先根据已知的三视图中的某两个，还原、推测直观图的可能形式，找其剩下部分三视图的可能形式.作为选择题，也可将选项依次代入，再看看给出的部分三视图是否符合.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题1，4，能力题7，8.专项基础测试模拟精选题选择题1.(2016成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是()解析由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C不可能.答案C2.(2015北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三
18、角形的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.答案D3.(2016湖南衡阳大联考)如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A.4B.4C.4D.8解析由三视图可知，几何体直观图如图所示，面积最小的面为面VAB，其面积为244.答案B4.(2015山西质量监测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为()A. B.6C.3 D.4解析由题意得该几何体的侧视图由一个底为，高为的等腰三角形和一个长为3，宽为2的矩形组成，
19、则其面积为23，故选A.答案A创新导向题几何体三视图之间关系问题5.已知某几何体的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的俯视图不可能为()解析答案D的正视图或者侧视图上半部分的三角形的底边长应该比下半部分的底边长短一些.答案D由三视图还原几何体问题6.图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_块木块堆成；图(2)中的三视图表示的实物为_.解析(1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成.(2)由三视图可知几何体为圆锥.答案4专项提升测试模拟精选题选择题7.(2016桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四
20、棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析只有C项合适.答案C8.(2016石家庄二中一模)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为()A.4 B.5C.3 D.3解析由三视图知该几何体是一个直三棱柱和一个三棱锥的组合体，如图所示.由图知AC和BD的长为几何体上任意两点间的距离的最大值，即为3，故选D.答案D9.(2015江西师大附中、宜春中学联考)某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()解析将几何体置于正方体中，正视图和侧视图可能正确的是A，故选A.答案A10.(2015辽宁沈阳质量监测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三
21、视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.1B.C. D.2解析由三视图在正方体中画出该几何体为三棱锥DABC，计算得知面积最大的面为平面ABD，其面积为22，故选D.答案D创新导向题利用三视图求几何体的面积11.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为1的半圆，则该几何体的表面面积是()A.202 B.20C.202 D.20解析根据几何体三视图可知该几何体是一个正方体截去了半圆柱所得组合体，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，则几何体的表面积为522121220，故选B.答案B利用三视图求几何体的体积12.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则
22、该三棱锥的外接球体积为_.解析设该三棱锥的外接球的半径是R.依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB平面BCD，AB2，CD2，BCBD2，BCBD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R2，R，所以该三棱锥的外接球体积为()34.答案4.第二节空间几何体的表面积与体积1.(2016新课标全国，4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A.12 B.C.8 D.4解析由题可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.答案A2.(2016新课标全国，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
23、()A.20 B.24C.28 D.32解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为S锥侧448，圆柱的侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428，故选C.答案C3.(2016新课标全国，10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.1836B.5418C.90D.81解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，几何体的表面积S362332325418.答案B4.(2015新课标全国，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯
24、视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2C.4 D.8解析由题意知，2r2r2r2rr2r24r24r25r21620，r2.答案B5.(2015新课标全国，10)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64C.144 D.256解析如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大VCOAB最大SOABRR2RR336，所以R6，得S球O4R2462144.选C.答案C6
25、.(2013新课标全国，15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_.解析平面截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AHHB12得OHR，由圆H的面积为，得圆H的半径为1，所以()212R2，得出R2，所以球O的表面积S4R24.答案7.(2013新课标全国，15)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_.解析如图所示，在正四棱锥OABCD中，VOABCDS正方形ABCD|OO1|()2|OO1|，|OO1|，|AO1|，在RtOO1A中，OA，即R，S球4R224.
26、答案248.(2016新课标全国，11)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B.C.6 D.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.答案B9.(2016新课标全国，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17B.18C.20 D.28解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得
27、球的半径为2，则得S42232217，故选A.答案A10.(2015新课标全国，6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有() A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积VR2h(立方尺).所以堆放的米大约为22(斛).答案B11.(2015新课标全国，6)一个正方体被一
28、个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C. D.解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为.选D.答案D12.(2014新课标全国，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为() A.3 B.C.1 D.解析由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以VAB1DC1ADSB1DC121，故选C
29、.答案C13.(2013新课标全国，11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.168 B.88C.1616 D.816解析由三视图分析可知，几何体由底面半径为2，高为4的半圆柱和长、宽、高分别为2，4，2的长方体组合而成，V44242168，由三视图准确得出几何体的形状是解题的关键.答案A14.(2015新课标全国，19)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分
30、体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).1.(2015安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B.12C.2 D.2解析由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.其表面积S表2212()22，故选C.答案C2.(2014陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4 B.3C.2 D.解析由
31、几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.答案C3.(2014山东，13)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.解析由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为12212.答案124.(2016山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.B.C.D.1解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，V111，故选C.答案C5
32、.(2015山东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C.2 D.4解析如图，设等腰直角三角形为ABC，C90，ACCB2，则AB2.设D为AB中点，则BDADCD.所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V2()2.答案B6.(2015湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料利用率新工件的体积/原工件的体积)()A. B.C. D.解析欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上.圆锥体积
33、V1122.作几何体截面图，则内接正方体棱长a.正方体体积V2a3，.故选A.答案A7.(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.12 B.18C.24 D.30解析此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为656324，选择C.答案C8.(2016浙江，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体是
34、底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如右图：其表面积S62224242422280(cm2).体积V22244240(cm3).答案80409.(2016四川，12)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，ABC为等腰三角形，且AC2，AC边上的高为1，SABC21.由侧视图可知：三棱锥的高h1，VSABCSABCh.答案10.(2016北京，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.解析由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S，高h1，所以四棱柱体积VSh1.答案11.(2015四川，14)在三棱柱ABC
35、A1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，VPA1MNVA1PMN，又AA1平面PMN，VA1PMNVAPMN，VAPMN1，故VPA1MN.答案12.(2015湖南，18)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为
36、45，求三棱锥FAEC的体积.(1)证明ABC为正三角形，E为BC中点，AEBC，又B1B平面ABC，AE平面ABC，B1BAE，由B1BBCB知，AE平面B1BCC1，又由AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1.(2)解设AB中点为M，连接CM，则CMAB，由平面A1ABB1平面ABC且平面A1ABB1平面ABCAB知，CM面A1ABB1，CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.CA1M45，易知CM2，在等腰RtCMA中，AMCM，在RtA1AM中，A1A.FCA1A，又SAEC4，V三棱锥FAEC.13.(2014广东，18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，
37、AB1，BCPC2.作如图2折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积.(1)证明PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD，又四边形ABCD是矩形，CDAD，PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD，CF平面PCD，ADCF，又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)解PD平面ABCD，PDCD，又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由SPCDPDCDPCDF得DF，CF，EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD
38、平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，MD，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.1.简单几何体的侧面展开图的形状名称侧面展开图形状侧面展开图圆柱矩形圆锥扇形圆台扇环直棱柱矩形正n棱锥n个全等的等腰三角形正n棱台n个全等的等腰梯形2.多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和.3.旋转体的侧面积和表面积若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧2rl，S表2r22rl2r(rl).若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧rl，S表r2rlr(rl).若圆台的上下底面半径分别为r，r，则S侧(rr)l，S
39、表r2r2(rr)l.若球的半径为R，则它的表面积S4R2.两种解题技巧：侧面展开图；构造直角三角形.(1)侧面展开图主要解决柱体，锥体，台体的侧面积问题，也可以求出几何体表面上一点到达另一点的最短距离，即利用展开图化成平面内两点的距离求解将圆心角为120，两积为3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为_.解析设扇形的半径和圆锥的母线长都为l，圆锥的底面半径为r，扇形圆心角为，则l23，解得l3，32r，r1，S表S侧S底rlr24.答案4(2)在几何体直观图中构造常见直角三角形，把已知量和要求量集中于直角三角形中进行求解已知正四棱锥PABCD的底面为边长是4的正方形，高与斜高的夹角为30，则
40、该正四棱锥的侧面积为_.解析正四棱锥的高PO、斜高PE和底面中心距OE组成RtPOE，因为OE2，OPE30，所以斜高PE4.因此S正四棱锥BCPE444432.答案32一类重要题型：几何体的切、接问题.(3)解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.长方体的三条棱长分别为3，4，5，则其外接球的表面积为_.解析长方体对角线长l5，外接球半径R.表面积S4R250.答案50几何体名称体积棱(圆)柱VSh(S
41、为底面面积，h为高)棱(圆)锥VSh(S为底面面积，h为高)棱(圆)台Vh(SS)(S，S为上、下底面面积，h为高)球VR3，(R为球半径)一类体积求解：三棱锥体积求法.(4)三棱锥体积可直接用公式求解，当底面面积或高不易求解时可灵活变换顶点和底面，使体积方便求出如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_.解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为 ，故其体积为.答案 几何体面积的求解方法(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现
42、几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 【例1】 (1)(2016东北师范大学附属中学第二次模拟)一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是()A.2 B.3C.32 D.3(2)(2016河南郑州一模)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为()A.8 B.16C.32 D.64解析(1)由三视图知四棱锥如图所示，PA底面ABCD，四边形ABCD为正方形，PC，A
43、CBD2，则正方形边长为，BC侧面PAB，CD侧面PAD.所以PA3，PBPD.四棱锥侧面积S侧SPABSPADSPBCSPDC2323.故选D.(2)由三视图可得，该几何体是四棱锥(如图)，其中底面BCDE侧面ABC，且底面BCDE为正方形(边长为4)，侧面ABC为等腰直角三角形(ABAC2)，利用补形可知以A，B，C，D，E为部分顶点的长方体的外接球即为四棱锥ABCDE的外接球，其半径为R2，所以外接球的表面积S4R232，故选C.答案(1)D(2)C点评已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断简单几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积. 几何体体积求
44、解方略求几何体体积的类型及思路(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积转换法和割补法进行求解.其中，等积转换法多用来求锥体的体积.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【例2】 (1)(2016安徽马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.15 B.16C.17 D.18(2)(2016广西南宁模拟)已知四棱锥SABCD的所有顶点都在半径为2的球O的球面上，四边形ABCD是边长为2的正方形，SC为球O的直径，则此棱锥的体积为()A. B
45、.C. D.解析(1)在长方体ABCDABCD中，多面体ADDFCE即为三视图对应的几何体，作EMDC于M，连接FM，则MC1，EM3，FM3，DM3.则VV三棱柱ADDFMEV三棱锥EFMCSEMFDMSMFCEM33313315.故选A.(2)连接AC，由已知得SACSBCSDC90，CDAD，CDSD，ADSDD.CD平面SAD，则CDSA.又SAAC，CDACC.SA平面ABCD.SC4，CD2，SD2.SA2.四棱锥SABCD的体积VS四边形ABCDSA42.故选C.答案(1)A(2)C点评解决(1)题的关键是将三视图还原为几何体.利用三视图中的线段长度求出几何体的体积.(2)题求解
46、的关键是通过组合体的图形，找到已知条件中各棱长与球的半径之间的关系，然后利用球的表面积公式求解.几何体中的展开问题【示例】 如图，在直棱柱ABCABC中，底面是边长为3的等边三角形，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥CMNP的体积.解(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如右图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即
47、.NC.(3)SPCNCPCN2.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，即h3.VCMNPVMPCNhSPCN.方法点评(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题.(3)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.全国新课标区模拟精选题：根据高考命
48、题大数据分析，重点关注基础题2，3，能力题7，8.专项基础测试模拟精选题一、选择题1.(2016沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()A.4，8B.4，C.4(1)，D.8，8解析由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此，其侧面积为244，其体积为222.答案B2.(2015湖北八校联考)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是()A. B.4C. D.3解析该截面将正方体分成两个完全相同几何体，因此该几何体的体积为234.答案B
49、二、填空题3.(2014四川广安诊断)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧棱PA底面ABCD，PA2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为_.解析SEBC，VPEBC2.答案4.(2016河南适应性测试)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_cm3.解析由三视图得该几何体可以看作是一个底面为底为4，高为3的三角形，高为8的三棱柱截去两个以三棱柱的底面为底面，高为2的三棱锥后剩余的部分，则其体积为843224340.答案40创新导向题几何体的拼接问题5.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为6416，则实数a等于()A.2 B.2C
50、.4 D.4解析该几何体由一个三棱柱和一个圆柱的组合而成，圆柱的底面半径和高均为a，三棱柱的底面是一个底为2a，高为a的三角形，三棱柱的高为a，故该几何体的体积V2aaaa2aa36416，解得a4.答案C几何体的外接球问题6.已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为_.解析设球心到平面ABCD的距离为d，由题意点E到平面ABCD的距离为，则球半径为R，R2d212，所以d，R24，S球4R216.答案16专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016厦门市质检)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中
51、，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1B1C1E的体积等于() A. B.C. D.解析VD1B1C1ESB1C1ED1C1111.答案D8.(2016江西八所重点中学联考)如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为()A.(4) B.(34)C.(38) D.(24)解析由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中AB底面BCD，则由题中数据得AB3，BD2，BCCD，AD，AC，所以ACCD，则该几何体的表面积为33221(38)，故选C.答案C9.(2015东北三校联考)点A、B、C、D在同一个球的球面上，ABBC，AC2，若四面体ABCD体
52、积的最大值为，则这个球的表面积为()A. B.8C. D.解析如图所示，O为球的球心，由ABBC，AC2可知ABC，即ABC所在的小圆的圆心O1为AC的中点，故AO11，SABC1，当D为O1O的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大.连接OA，设球的半径为R，则DO1R，此时VABCDSABCDO1(R)，解得R，故这个球的表面积为4.答案C二、填空题10.(2015豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为_.解析由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V圆台(AD2BC2)AB(AD2ADBCBC2
53、)AB(222552)452(cm3)，V半球AD323(cm3)，所以旋转所形成的几何体的体积VV圆台V半球52(cm3).答案 cm3创新导向题几何体的挖去问题11.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A的体积为V2，则的值为_.解析设长方体长，宽，高分别为a，b，c，则V1abc，V2bca，.答案综合问题中的面积或体积问题12.如图，圆柱OO1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，ABCD，点E、F在圆O上，且ABEF，且AB2，AD1.(1)求证：平面ADF平面CBF；(2)若DF与底面所成角为，求几何体EFABCD的体积.(1)证明由已知，AFBF，ADBF，且AFADA，故BF平面ADF，所以平面ADF平面CBF.(2)解因AD垂直于底面，若DF与底面所成角为，则AFD，故AF1，则四棱锥FABCD的高为，又SABCD2，VFABCD2；三棱锥CBEF的高为1，而BEF中，BEBF1，BEF120，所以SBEF，则VCBEF1，所以几何体EFABCD的体积为.
