1、2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式整体设计教学分析 本节课是高中数学3(必修)第三章概率的第二节古典概型的第一课时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的.古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位. 学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思
2、想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例.使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.三维目标1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,
3、培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)=的使用条件古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.重点难点教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数
4、和试验中基本事件的总数.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件.(2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3，,10.思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？为此我们学习古典概型,教师板书课题.思路2.将扑克牌(52张)反扣在桌上,先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试验,用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确.有更好的解决方法吗？把“抽到红心”记为事件B,
5、那么事件B相当于“抽到红心”,“抽到红心2”,“抽到红心K”这13种情况,而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的,可以认为这52种情况的可能性是相等的.所以,当出现红心是“抽到红心1”,“抽到红心2”,“抽到红心K”这13种情形之一时,事件B就发生,于是P(B)=.为此我们学习古典概型.推进新课新知探究提出问题 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数),最后由科代表汇总；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次(最好
6、是整十数),最后由科代表汇总.(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？(2)根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？(3)什么是基本事件？基本事件具有什么特点？(4)什么是古典概型？它具有什么特点？(5)对于古典概型,应怎样计算事件的概率？活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,最后师生共同汇总方法、结果和感受.讨论结果：(1)用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.(2)上述试验一的两个结果是“正面朝上”和
7、“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是.(3)根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event)；它是试验的每一个可能结果.基本事件具有如下的两个特点：任何两个基本事件是互斥的；任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(4)在一个试验中如果试验中所有可能出现
8、的基本事件只有有限个；(有限性)每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型. 向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？图1 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件.如图2,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？图2 不是
9、古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.(5)古典概型,随机事件的概率计算对于试验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”),由概率的加法公式,得P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1.因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=,即P(“出现正面朝上”)=.试验二中,出现各个点的概率相等,即P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”).反复利用概率的加法公式,我们有P(“1点”)+P(“2点
10、”)+P(“3点”)+P(“4点”)+P(“5点”)+P(“6点”)=P(必然事件)=1,所以P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”)=P(“5点”)=P(“6点”)=.进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如,P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”)=,即P(“出现偶数点”)=.因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为P(A)=.在使用古典概型的概率公式时,应该注意：要判断该概率模型是不是古典概型；要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.下面我们看它们的应用.
11、应用示例思路1例1 在一个健身房里,用拉力器进行锻炼时,需要选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量盘的箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2.5 kg,5 kg,10 kg和20 kg,每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后,再拉动这个拉力器.(1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘,共有多少种可能的结果?用表格列出所有可能的结果.(2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：20 kg;30 kg;不超过10 kg;超过10 kg.(3)如果一个人不能拉动超过22 kg的质量,那么他不能拉开拉力器的概率是多少?解：(1)第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以
12、从4种不同的质量盘中任意选取.我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果.例如,我们用(10,20)来表示： 在一次随机的选取中,从第一个箱子取的质量盘是10 kg,从第二个箱子取的质量盘是20 kg.下表列出了所有可能结果.第二个质量/kg第一个质量/kg2.5510202.5(2.5,2.5)(2.5,5)(2.5,10)(2.5,20)5(5,2.5)(5,5)(5,10)(5,20)10(10,2.5)(10,5)(10,10)(10,20)20(20,2.5)(20,5)(20,10)(20,20)从表中可以看出,随机地从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种.由于选
13、取质量盘是随机的,因此这16种结果出现的可能性是相同的,这个试验属于古典概型.(2)用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是20 kg”,因为总质量为20 kg的所有可能结果只有1种,因此,事件A的概率P(A)=0.062 5.用B表示事件“选取的两个质量盘的总质量是30 kg”,从表中可以看出,总质量为30 kg的所有可能结果共有2种,因此,事件B的概率P(B)=0.125.用C表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10 kg”.总质量不超过10 kg,即总质量为5 kg,7.5 kg,10 kg之一,从表中容易看出,所有可能结果共有4种,因此,事件C的概率P(C)=0.25.用D表示事件
14、“选取的两个质量盘的总质量超过10 kg”.总质量超过10 kg,即总质量为12.5 kg,15 kg,20 kg,22.5 kg,25 kg, 30 kg,40 kg之一,从表中可以看出,所有可能结果共有12种,因此,事件D的概率P(D)=0.75.(3)用E表示事件“不能拉开拉力器”,即总质量超过了22 kg.总质量超过22 kg是指总质量为22.5 kg,25 kg,30 kg,40 kg之一,从表中可以看出,这样的可能结果共有7种,因此,不能拉开拉力器的概率P(E)=0.44.点评：在这个例子中,我们用列表的方法列出了所有可能的结果.在计算古典概率时,只要所有可能结果的数量不是很多,列
15、举法是我们常用的一种方法.例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？活动：学生阅读题目,搜集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考查内容,这都不满足古典概型的第2个条件等可能性,因此,只有在假定学生不会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型.解：这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D,即基本事件共有4个,考生随
16、机地选择一个答案是A,B,C,D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式,得P(“答对”)=0.25.点评：古典概型解题步骤：(1)阅读题目,搜集信息；(2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；(4)用公式P(A)=求出概率并下结论.变式训练1.两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率.解：样本空间：甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反.这里四个基本事件是等可能发生的,故属古典概型.n=4,m=1,P=.2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率.解法一：设A表示“出现点数之和为奇数”,用(i,j)记“第一颗骰子出现i点,第二颗骰
17、子出现j点”,i,j=1,2,6.显然出现的36个基本事件组成等概率样本空间,其中A包含的基本事件个数为k=33+33=18,故P(A)=.解法二：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),则它们也组成等概率样本空间.基本事件总数n=4,A包含的基本事件个数k=2,故P(A)=.解法三：若把一次试验的所有可能结果取为：点数和为奇数,点数和为偶数,也组成等概率样本空间,基本事件总数n=2,A所包含基本事件数为1,故P(A)=.注：找出的基本事件组构成的样本空间,必须是等概率的.解法二中倘若解为：(两个奇),(一奇一偶),(两个偶)当作基本事件组成样本空间,则
18、得出P(A)=,错的原因就是它不是等概率的.例如P(两个奇)=,而P(一奇一偶)=.本例又告诉我们,同一问题可取不同的样本空间解答.例3 同时掷两个骰子,计算：(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少?解：(1)掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个骰子的结果共有36种.(2)在上面的所有结果中,向上的点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果,
19、第二个数表示2号骰子的结果.(3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=.例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?图3解：一个密码相当于一个基本事件,总共有10 000个基本事件,它们分别是0000,0001,0002,9998,9999.随机地试密码,相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的,所以这是一个古典概型.事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成,即由正确
20、的密码构成.所以P(“试一次密码就能取到钱”)=. 发生概率为的事件是小概率事件,通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的,也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的.但我们知道,如果试验很多次,比如100 000次,那么这个小概率事件是可能发生的.所以,为了安全,自动取款机一般允许取款人最多试3次密码,如果第4次键入的号码仍是错误的,那么取款机将“没收”储蓄卡.另外,为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小,现在储蓄卡可以使用6位数字作密码. 人们为了方便记忆,通常用自己的生日作为储蓄卡的密码.当钱包里既有身份证又有储蓄卡时,密码泄密的概率很大.因此用身份证
21、上的号码作密码是不安全的.例5 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?图4解：我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记作1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.依次不放回地从箱中取出2听饮料,得到的两个标记分别记为x和y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”,A1表示“仅第一次抽出的是不合格产品”,A2表示“仅第二次抽出的是不合格产品”,A12表示“两次抽出的都是不合格产品”,则
22、A1,A2和A12是互不相容的事件,且A=A1A2A12,从而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12).因为A1中的基本事件的个数为8,A2中的基本事件的个数为8,A12中的基本事件的个数为2,全部基本事件的总数为30,所以P(A)=0.6.思路2例1 一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两个球,(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？活动：可用枚举法找出所有的等可能基本事件.解：(1)分别记白球为1,2,3号,黑球4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件摸到1,2号球用(1,2)表示：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)
23、,(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).因此,共有10个基本事件.(2)上述10个基本事件发生的可能性是相同的,且只有3个基本事件是摸到两个白球(记为事件A),即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=.共有10个基本事件,摸到两个白球的概率为.变式训练 将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数的和是3的倍数的概率是多少？分析：(1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果.先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有6种结果,第2次又有6种可能的结果,
24、于是一共有66=36种不同的结果；(2)第1次抛掷,向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个,第2次抛掷时都可以有两种结果,使向上的点数和为3的倍数(例如：第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数),于是共有62=12种不同的结果；(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A,则事件A的结果有12种,因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的,所以所求的概率为P(A)=.答案：先后抛掷2次,共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；点数的和是3的倍数的概率为.说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：图5例2 从含有两件正品a1,a2和
25、一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.活动：学生思考或交流,教师引导,每次取出一个,取后不放回,其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的,因此可用古典概型解决.解：每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2)和(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品,用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,
26、a2).事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)=. 思考 在上例中,把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,求取出的两件中恰好有一件次品的概率.有放回地连续取出两件,其一切可能的结果有：(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2), (a2,b1),(b1,a2),(b1,b1),由9个基本事件组成,由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件B包含4个基本事件,因而,P(B)=.点评：(1)在
27、连续两次取出过程中,(a1,b1)与(b1,a1)不是同一个基本事件,因为先后顺序不同.(2)无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.变式训练 现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品：(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率；(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.分析：(1)为放回抽样；(2)为不放回抽样.解：(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有101010=103种；设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有888=83种,因此,
28、P(A)=0.512.(2)方法一：可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为1098=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为876=336,所以P(B)=0.467.方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x)是相同的,所以试验的所有结果有10986=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个
29、数为8766=56,因此P(B)=0.467.点评：关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.知能训练 本节练习1、2、3.拓展提升 一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成1 000个同样大小的小正方体,将这些正方体混合后,从中任取一个小正方体,求：(1)有一面涂有色彩的概率；(2)有两面涂有色彩的概率；(3)有三面涂有色彩的概率.解：在1 000个小正方体中,一面涂有色彩的有826个,两面涂有色彩的有812个,三面涂有色彩的有8个,(1)有一面涂有色彩的概率为P1=0.384；(2)有
30、两面涂有色彩的概率为P2=0.096；(3)有三面涂有色彩的概率为P3=0.008.答：(1)一面涂有色彩的概率为0.384；(2)有两面涂有色彩的概率为0.096；(3)有三面涂有色彩的概率为0.008.课堂小结1.古典概型我们将具有(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性)这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.2.古典概型计算任何事件的概率计算公式P(A)=.3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数的常用方法是列举法(画树状图和列表),应做到不重不漏.作业 本节练习4.设计感想 本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 在解决概率的计算上,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.由此,整个教学设计可以在教师的期盼中实施.
