1、112 正 弦 定 理第1课时 正弦定理(1)基础认知自主学习1正弦定理(1)条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论_ _ 2R(R是ABC外接圆的半径)文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等asinAbsinBcsinC正弦(2)本质：三角形中，边与其对角的正弦之间的关系(3)应用：求解三角形中的边或角；进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题2正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(2)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(3)sin As
2、in Bsin Cabc；(4)abcsin Asin Bsin C 2R；(5)S ABC12 ab sin C12 bc sin A12 ac sin B1在 ABC 中，一定成立的等式是()Aa cos Ab cos B Ba sin Bb sin ACa cos Bb cos A Da sin Ab sin B【解析】选 B.选项 B 可化为 asin A bsin B，由正弦定理可知选项 B 正确2在ABC中，sin Asin C，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形【解析】选B.因为A，C是三角形ABC的内角，所以AC，又因为sin Asin C，所以AC
3、，即ABC为等腰三角形3在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 B30，b2，则asin A 的值是()A2 B3 C4 D6【解析】选 C.由正弦定理可得asin A bsin B 2sin 30 4.4在锐角ABC中，下列不等关系总成立的是()Asin Acos B Bsin Bcos ACsin Asin B Dsin Bcos A【解析】选 D.因为在锐角 ABC 中，0A2 ABA2 B0，因为sin Asin 2Bcos B，故 A 选项不正确，因为 sin A 与 sin B 大小不定，所以 C 选项不正确，所以 cos A0，所以 b 2 a 2 或 0b1
4、.6在 ABC 中，a10，B60，cos C 33，则 c 等于()A20(6 2)B20(6 2)C 6 2 D20 6【解析】选 B.由 cos C 33得 sin C1cos2C 231)3（63，sinAsin(BC)sin B cos Ccos B sin C 32 3312 633 66.由正弦定理得 casin Csin A 10633 6610 6363 6 20(6 2).二、填空题7在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ab12，A60，B45，则 a_【解析】在 ABC 中，因为 A60，B45，由正弦定理asin A bsin B，可得ab
5、sin Asin B 32，解得 b 63a，又因为 ab12，即 a 63a12，解得 a3612 6.答案：3612 68已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量 m(ab，sin C)，n(3 ac，sin Bsin A)，若 mn，则角 B 的大小为_【解析】因为 mn，所以(ab)(sin Bsin A)sin C(3 ac)0，由正弦定理化简得(ab)(ba)c(3 ac)0，整理得 a2c2b2 3 ac，所以 cos B 32，因为 0B，所以 B56.答案：569在 ABC 中，AB 3，A45，B60，则 BC_【解析】利用正弦定理 BCsin
6、A ABsin C，而 C180(AB)75，故 BCAB sin Asin C 3sin 45sin 753 3.答案：3 310 ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 3，b 2，A60，则角 B_，ABC 的面积是_【解析】在 ABC 中由正弦定理得asin A bsin B，则 sin Bb sin Aa 2sin 603 22，又因为 ba，所以 BA，所以 B45，则 C75，则 ABC 的面积为12 ab sin C12 3 2 sin 753 34.答案：45 3 34三、解答题11在 ABC 中，A60，sin B12，a3，求三角形中其余边与角的大小
7、【解析】因为 sin B12，所以 B30或 150，当 B30时，由 A60得 C90；当 B150时，不合题意，舍去所以由正弦定理 bsin B csin C asin A，得 bsin Bsin A asin 30sin 60 3 3，csin Csin A asin 90sin 60 32 3.12在 ABC 中，已知 c 6，A45，a2，解这个三角形【解析】因为asin A csin C，所以 sin Cc sin Aa 6sin 452 32.因为 0C180，所以 C60或 C120.当 C60时，B75，bc sin Bsin C 6sin 75sin 60 3 1；当 C1
8、20时，B15，bc sin Bsin C 6sin 15sin 120 3 1.所以 b 3 1，B75，C60或 b 3 1，B15，C120.一、选择题1在锐角 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2a sin B 3 b，则角 A等于()A3 B4 C6 D23【解析】选 A.因为 2a sin B 3 b，由正弦定理可得：2sin A sin B 3 sin B，又 sin B0，所以 sin A 32.因为 ABC 为锐角三角形，所以 A3.2在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2 3 bc，sin C2 3 sin B，则角 A
9、 为()A30 B60 C120 D150【解析】选 A.因为 sin C2 3 sin B，所以 c2 3 b，结合 a2b2 3 bc，可得 a27b2，所以 cos Ac2b2a22cb 32，因为 0A180，所以 A30.3在 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A60，b2 3，为使此三角形有两个，则 a 满足的条件是()A0a2 3 B0a3C3aB，则 sin Asin BC在 ABC 中，若sin Asin B ab，且(bca)(bca)3bc，则 A120D在 ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2C2sin B sin C cos A【解
10、析】选 ABD.对于 A，由正弦定理asin A bsin B csin C，可得 abcsin Asin Bsin C，所以 A 正确；对于 B，当 AB 时，ab，由正弦定理得 sin Asin B，所以 B 正确；对于 C，由(bca)(bca)3bc 得 b2c2a2bc，由余弦定理得cos Ab2c2a22bc bc2bc 12，所以 A60，故 C 错误；对于 D，由余弦定理得 a2b2c22bc cos A 结合正弦定理得，sin 2Asin 2Bsin 2C2sin B sin C cos A，所以 D 正确二、填空题5在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c
11、，若 cos A12，a 3，则abcsin Asin Bsin C _【解析】由 cos A12，得 sin A 32，故abcsin Asin Bsin C asin A 2.答案：26已知 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b2，B45，若三角形有两解，则 a 的取值范围是_【解析】方法一：根据正弦定理asin A bsin B 2222 2，故 sin A a2 2，因为三角形有两解，故 22sin A a2 2 1，解得 2a2 2.方法二：如图所示 CDasin 45 22a，若三角形有两解，则 22a2a，解得 2a2 2.答案：2a0，又 cos Ab2c
12、2a22bc，所以 cos 12012 42c2（2 7）224c，解得 c2，所以 S ABC12 bc sin A12 42sin 1202 3.答案：2 38在 ABC 中，D 是 AC 的中点，且 BC2BD，cos A14，则ABAC _；若 BCD 的面积为3 1517，则 BD_【解析】设 BDx(x0)，则 BC2x，在 ABC 中，由余弦定理得 AB2AC22ABAC cos A4x2，在 ABD 中，由余弦定理得 AB2AC242ABAC2cos Ax2，4 得 3AB12 AC，从而ABAC 16.将 AC6AB 代入中，得 AB217 x，则 AC6 217 x，在 B
13、CD 中，cos CBDBC2BD2CD22BCBD6768，则 sin CBD3 1568，从而 BCD 的面积为12 x2x3 15683 1517，得 x2，因此 BD2.答案：16 2三、解答题9在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足2b cos Acsin Bsin C.(1)求角 A 的大小；(2)若 a4 3，b4，求 ABC 的面积【解析】(1)由正弦定理的边化角公式可得2sin B cos Asin Csin Bsin C，因为 B(0，)，所以 sin B0，所以 2cos A1，即 cos A12，因为 A(0，)，所以 A23.(2)由正弦
14、定理asin A bsin B 得 sin Bb sin Aa4 324 312.因为 B0，3，所以 B6，所以 C6236，所以 S ABC12 ab sin C12 4 3 412 4 3.10已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2 3，b6，A30.【解析】(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010 3，所以 ab sin A，所以本题无解(2)a2 3，b6，ab，A30b sin A，所以 b sin Aab，所以本题有两解由正弦定理得 sin Bb sin Aa6sin 302 3 32，又因为 0B180，所以 B60或 B120.当 B60时，C90，ca sin Csin A2 3sin 90sin 304 3；当 B120时，C30，ca sin Csin A2 3sin 30sin 302 3.所以当 B60时，C90，c4 3；当 B120时，C30，c2 3.
