1、上海市上海师范大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题 （含解析）一、填空题（共12小题）.1 2若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q0的根，则pq 3 4已知等差数列an的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是 5已知向量，若向量，则实数m 6某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有 种（用数字作答）7（1+） 82010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从
2、事这四项工作，则不同的选派方案共有 种9在无穷等比数列an中，若，则a1的取值范围是 10市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种（用数字作答）115名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩手，则不同的分派方法共有 种（用数字作答）12我们把一系列向量（i1，2，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足（1，1），设n表示向量与的夹角，若bn对任意正整数n，不等式（12a）恒成立，则实数a的取值范围是 二、选择题（共4小题）.13在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（
3、n+n）2n123（2n1）（nN*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A2k+1B2（2k+1）CD14从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（）A种B种C种D种15复数z满足|z3i|2（i为虚数单位），则复数z4模的取值范围是（）A3，7B0，5C0，9D以上都不对16设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的周长（i1，2，），则“数列An为等差数列”的充要条件是（）Aan是等差数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等差数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，都是等差数列Da1，a3，a2n1，和a2
4、，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同三、解答题17已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行（1）求向量在向量上的投影；（2）求的坐标18已知f（z）1，且f（z1z2）4+4i，若z122i（1）求复数z122i的三角形式，并且复数z1的辐角主值argz1；（2）求|19据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全
5、国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）20已知数列an的首项为x（xR），前n顶和为Sn（1）若Snnan，求数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下，是否存在x（xR），使得对任意nN，n1，恒有k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；（3）若an是无穷等比数列，且公比q1，计算21设数列an（nN*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n3，均存在正整数k（1kn1）使得an，则称数列an为“数列”（1）若数列an（nN*）为a11，a2的等比数列
6、，当n3时，试问：an与是否相等，并说明数列an（nN*）是否为“数列”；（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列an是否为“数列”，并说明理由；（3）已知数列an为“数列”，且a10，a21，记S（n，k）an1+an2+ank，（n2，nN*），其中正整数kn1，对于每个正整数n3，当正整数k分别取1、2、n1时的最大值记为Mn、最小值记为mn设bnn（Mnmn），当正整数n满足3n2020时，比较bn与bn+1的大小，并求出bn的最大值参考答案一、填空题（共12小题）.1解：故答案为：2若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q0的根，则pq4解：若1+i（i是虚数单位）
7、是关于x的实系数方程x2+px+q0的根，则1i也是该方程的根，所以（1+i）+（1i）p，解得p2；（1+i）（1i）q，解得q2；所以pq4故答案为：433解：3故答案为：34已知等差数列an的各项不为零，且a3、a13、a63成等比数列，则公比是1或5解：等差数列an的各项不为零，公差设为d，由a3、a13、a63成等比数列，可得a3a63a132，即（a1+2d）（a1+62d）（a1+12d）2，化为d22a1d，即d0或d2a1，可得等比数列的公比为1或5，故答案为：1或55已知向量，若向量，则实数m解：向量，则2（12m，8），又，则3（12m）8m0，解得m故答案为：6某天，一
8、个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有 64种（用数字作答）解：每一名学生做作业的情况有4种，故在同一时刻3名学生都做作业的可能情形4364种，故答案为：647（1+）2解：2（），（1+）2（1+）（2）2故答案为：282010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36种解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵入选，则有选法C21C21A3324；若小张、小赵都入选，则有选法A22A3312
9、，根据分类计数原理知共有选法24+1236种故答案为：369在无穷等比数列an中，若，则a1的取值范围是解：在无穷等比数列an中，可知|q|1，1q0或0q1则，a1（1q）（0，）（，）故答案为：（0，）（，）10市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有480种（用数字作答）解：把四位乘客当作4个元素作全排列有A44种排法，将一个空位和余下的5个空位作为一个元素插空有A52种排法，A44A52480；故答案为480115名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火矩手，则不同的分派方法共有
10、150种（用数字作答）解：根据题意，分2步进行分析：将5人分为3组，若分为3、1、1的三组，有C5310种分组方法，若分为2、2、1的三组，有15种分组方法，则有10+1525种分组方法，将分好的三组全排列，安排到三个地区，有A336种情况，则有256150种分派方法，故答案为：15012我们把一系列向量（i1，2，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足（1，1），设n表示向量与的夹角，若bn对任意正整数n，不等式（12a）恒成立，则实数a的取值范围是（0，）解：由题意，计算cosn，把代入，可求得cosn，所以n；所以bnn；记cn+；则cn+1+；所以cn+1cn+0；所以
11、数列cn是单调递增数列，且loga（12a）（cn）minc11；由于12a0，解得a，所以，解得0a，所以a的取值范围是（0，）故答案为：（0，）二、选择题13在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+n）2n123（2n1）（nN*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A2k+1B2（2k+1）CD解：当nk+1时，左端（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1）（k+1+k+1），所以左端增加的代数式为（k+k+1）（k+1+k+1）2（2k+1），故选：B14从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（）A种B种C种D种解：第一步，选出5人，共有c7
12、5种不同选法，第二步，选出5个岗位，共有c105种不同选法，第三步，将5人分配到5个岗位，共有A55种不同选法，依分步计数原理，知不同的选派方法有C75C105A55C75A105种故选：D15复数z满足|z3i|2（i为虚数单位），则复数z4模的取值范围是（）A3，7B0，5C0，9D以上都不对解：由|z3i|2，可知复数z对应点的轨迹为以B（0，3）为圆心，以2为半径的圆上，如图：则复数z4模的最小值为|AB|2523，最大值为|AB|+25+27复数z4模的取值范围是3，7故选：A16设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的周长（i1，2，），则“数列An为等差数
13、列”的充要条件是（）Aan是等差数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等差数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，都是等差数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同解：Ai2（ai+ai+1），Ai+1Ai2（ai+2+ai+1）2（ai+ai+1）2（ai+2ai），若数列An为等差数列，则ai+2ai为常数，可得：a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同反之也成立“数列An为等差数列”的充要条件是：a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，都是等差数列，且公差相同故选：D三、解答题17已知O为直角坐标系原
14、点，与垂直，与平行（1）求向量在向量上的投影；（2）求的坐标解：（1）因为（3，1），（1，2），所以（4，1），计算12+111，|，所以向量在向量上的投影为：|cos；（2）设（x，y），因为与垂直，所以x+2y0，又（x+1，y2），且与平行，所以3（y2）（x+1）0，即x3y+70，由，解得，所以（14，7）；所以的坐标为（14，7）18已知f（z）1，且f（z1z2）4+4i，若z122i（1）求复数z122i的三角形式，并且复数z1的辐角主值argz1；（2）求|解：（1）z122i，则argz1；（2）设z2x+yi（x，yR），z122i，z1z2（2x）（y+2）i，f（z
15、）1，f（z1z2）（1x）+（y+2）i4+4i，则x3，y2，z23+2i，则，则|5+4i|19据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）解：（1）每月建设基站的数量构成一个
16、等差数列，公差为0.2万，首项为3万个则计划2020年新建基站数为故2020年全国共有基站13+49.262.2万个；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q（q0）由60+60q+60q280013，得解得：q3（q0）2021年至少建603180万个，2022年至少建609540万个才能完成计划20已知数列an的首项为x（xR），前n顶和为Sn（1）若Snnan，求数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下，是否存在x（xR），使得对任意nN，n1，恒有k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；（3）若an是无穷等比数列，且公比q1，计算解
17、：（1）由，得，两式作差可得an+1nan+1+an+1nann，即an+1an1，数列an是首项为x，公差为1的等差数列，则anx+（n1）1n+x1；（2）由k，得SnkS2n，即nx+k2nx+n（2n1），整理得：（14k）n（2k1）（2x1）0，当x，k时，该等式恒成立，即当x时，；（3）若an是无穷等比数列，且公比q1，当q1时，Snnx，S2n2nx，则；当q1时，21设数列an（nN*）中前两项a1，a2给定，若对于每个正整数n3，均存在正整数k（1kn1）使得an，则称数列an为“数列”（1）若数列an（nN*）为a11，a2的等比数列，当n3时，试问：an与是否相等，并说
18、明数列an（nN*）是否为“数列”；（2）讨论首项为a1、公差为d的等差数列an是否为“数列”，并说明理由；（3）已知数列an为“数列”，且a10，a21，记S（n，k）an1+an2+ank，（n2，nN*），其中正整数kn1，对于每个正整数n3，当正整数k分别取1、2、n1时的最大值记为Mn、最小值记为mn设bnn（Mnmn），当正整数n满足3n2020时，比较bn与bn+1的大小，并求出bn的最大值解：（1）数列an（nN*）为a11，a2的等比数列，an（）n1由于当n3时，均有（）n3（）n1an，an与相等对每个正整数n3，均存在正整数k2且12n1，使得an，数列an为“数列“（
19、2）d0时，对于每个正整数n3，均存在正整数k1，11n1，使，d0时，数列an为数列，d0时，且，d0时，d0时，对n3，当正整数k在1k31时，总有，d0时，数列an不是数列（3）由题设知对于每个正整数n3，均有anmn，Mn，mn，Mn，且对于所有正整数kn1，均有mn，即kMnS（n，k）kMn，记S（n，0）0，对于每个正整数n4，选取适当的正整数l，ln1，使得Mn，由S（n，l）an1+S（n1，l1）an1+（l1）Mn1，则l（Mnan1）lMnlan1S（n，l）lan1an1+（l1）Mn1lan1（l1）Mn1an1，即Mnan1，类似的，l（an1mn）lan1lmnlan1S（n，l）lan1an1S（n1，l1）（l1）an1（l1）mn1（l1）（an1mn1），mn1an1Mn1tn1，ln1，Mnmn，Mnmn（Mnan1）+（an1mn）+，Mnmn，a10，a21，mn1Mn1，n（Mnmn）（n1）（Mn1mn1），正整数n4时，bnbn1成立，即正整数n3时，bn+1bn成立，在正整数n满足3n2020时，当n3时，bn取最大值为b33（1）
