1、第11章 解 三 角 形111 余 弦 定 理第1课时 余弦定理(1)基础认知自主学习余弦定理公式表达a2=_,b2=_,c2=_语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A=_,cos B=_,cos C=_ 222b+ca2bc222a+cb2ac222a+bc2abb2+c2-2bccos Aa2+c2-2accos Ba2+b2-2abcos C2.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的_和它们的_叫作三角形的元素(2)解三角形已知三角形的_求其他_的过程叫作解三角形三个角A，B，C对边 a，b，c几个元素元素1在 ABC
2、 中，已知 B120，a3，c5，则 b 等于()A4 3B 7C7 D5【解析】选C.b2a2c22ac cos B3252235cos 12049，所以b7(负值舍去).2在 ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，C60，a4b，c 13，则 b()A1 B2 C3 D 13【解析】选 A.由余弦定理知(13)2a2b22ab cos 60，因为 a4b，所以 1316b2b224bb12，解得 b1(负值舍去).3(教材练习改编)已知a，b，c是ABC的三边长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60B90C120D150【解析】选 C.由(abc)
3、(abc)ab，得(ab)2c2ab，所以 c2a2b2aba2b22ab cos C，所以 cos C12，所以 C120.4在ABC中，若2a cos Bc，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【解析】选 C.因为 2a cos Bc，所以 2aa2c2b22acc，所以 a2b2，所以 ab.故 ABC 为等腰三角形5已知在ABC中，a1，b2，C60，则c_【解析】由余弦定理，得 c21222212cos 603，所以 c 3.答案：36在 ABC 中，已知 a5，b3，角 C 的余弦值是方程 5x27x60 的根，求第三边 c 的长【解析】5x
4、27x60 可化为(5x3)(x2)0，所以 x135，x22，所以 cos C35.根据余弦定理得，c2a2b22ab cos C523225335 16，所以 c4，即第三边 c 的长为 4.学情诊断课时测评一、单选题1在 ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC()A1 B2 C3 D4【解析】选A.由余弦定理得，AB2BC2AC 22BCAC cos C，将各值代入得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去).2在 ABC 中，a7，b4 3，c 13，则 ABC 的最小角为()A3 B6 C4 D 12【解析】选 B.由三角形边角关系可知，角 C 为 ABC 的最小角
5、，则 cos Ca2b2c22ab72（4 3）2（13）2274 3 32，因为 C(0，)，所以 C6.3在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a4，b3，c 13，则 C()A30 B45 C60 D120【解析】选 C.由题可知 cos Ca2b2c22ab4232（13）224312，因为C0，故 C60.4在ABC中，若a3，c7，C60，则b为()A5 B8C5或8 D5或8【解析】选B.由余弦定理得c2a2b22ab cos C，即499b23b，所以(b8)(b5)0.因为b0，所以b8.5在 ABC 中，a2b2c2 3 bc，则 A 等于()A6
6、0 B45 C120 D150【解析】选 D.在 ABC 中，因为 a2b2c2 3 bc所以 b2c2a2 3 bc，由余弦定理可得 cos Ab2c2a22bc 3bc2bc 32.又因为 A(0，)，所以 A150.6在 ABC 中，AB3，BC 13，AC4，则 AC 边上的高为()A3 22 B3 32 C32 D3 3【解析】选 B.由 BC2AB2AC22ABAC cos A，可得 13916234cos A，得 cos A 12.因为 A 为 ABC 的内角，所以 A3，所以 AC 边上的高为 ABsin A3 323 32.二、填空题7在 ABC 中，边 a，b 的长是方程
7、x25x20 的两个根，C60，则边 c_【解析】由题意得：ab5，ab2.由余弦定理得 c2a2b22ab cos Ca2b2ab(ab)23ab523219，所以 c 19.答案：198在 ABC 中，已知 b3，c3 3，B30，则角 C_.【解析】由余弦定理 b2a2c22ac cos B，得 32a2(3 3)22a3 3 cos 30，所以 a29a180，得 a3 或 6.当 a3 时，A30，所以 C120.当 a6 时，因为 32(3 3)29273662.所以 A90，所以 C60.答案：60或 1209 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c
8、 满足 b2ac，且 c2a，则 cos B_；sin B_【解析】因为 b2ac，且 c2a，所以 cos Ba2c2b22aca24a22a22a2a34，sin B1cos2B 1 916 74.答案：34 7410在点 O 的正上方有气球 P，从点 O 的正西方 A 点，测得气球 P 的仰角为 30，同时从点 O 南偏东 60的 B 点，测得气球 P 的仰角为 45.若 A，B 两点的距离为10 7 m，则气球 P 离地面的距离为_m.【解析】依题意可得图形，且OAP30，AOB150，OBP45，AB10 7，AOPPOB90，设 OPx，则 OBx，AO 3 x，在 AOB 中由余
9、弦定理可得 AB2AO2BO22AOBOcos AOB，即(10 7)2(3 x)2x22 3 xxcos 150，解得 x10 或 x10(舍去).答案：10三、解答题11在 ABC 中，已知 a2 6，b62 3，c4 3，求 A，B，C.【解析】根据余弦定理的推论得，cos Ab2c2a22bc（62 3）2（4 3）2（2 6）22（62 3）4 3 32.因为 A(0，)，所以 A6，cos Ca2b2c22ab（2 6）2（62 3）2（4 3）222 6（62 3）22，因为 C(0，)，所以 C4.所以 BAC6 4 712，所以 A6，B712，C4.12已知 ABC 的内角
10、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(ac)2b234 ac.(1)求 cos B 的值；(2)若 b 13，且 ac2b，求 ac 的值【解析】(1)由(ac)2b234 ac，可得 a2c2b254 ac.所以a2c2b22ac58，即 cos B58.(2)因为 b 13，cos B58，由余弦定理得 b213a2c254 ac(ac)2134 ac，又 ac2b2 13，所以 1352134 ac，解得 ac12.一、选择题1已知三角形三边之比为 573，则最大角为()A90 B120 C135 D150【解析】选 B.因为三角形三边之比为 573，所以设三边长分别为 5a，7a
11、，3a，所以长为 7a 的边对的角最大，设这个角为，由余弦定理得 cos 25a29a249a225a3a12，因为 是三角形的内角，所以 120.2在 ABC 中，若(ac)(ac)b(bc)，则 A 等于()A90 B60C120 D150【解析】选 B.因为(ac)(ac)b(bc)，所以 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.3李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走()A50米B57米C64米D70米【思路导引】画出图
12、形，在ABC中，利用余弦定理，即可求解AC的长，得到答案【解析】选 D.由题意，设李华家为 A，有害垃圾点为 B，可回收垃圾点为 C，则李华的行走路线，如图所示在 ABC 中因为 AB80，BC30，B60，由余弦定理可得 ACAB2BC22ABBC cos 608023022803012 70 米，即李华回到自家楼下至少还需走 70 米4(多选)在 ABC 中，a5，b7，c8，则下列角的正弦值等于 32的是()A角 B B角 CC角 AB D角 AC【解析】选 AD.cos B82527228512，则 B60，AC120，则 sin B 32，sin(AC)32.二、填空题5已知 ABC
13、 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2 3，a2，B60，则边 c_【解析】由余弦定理得 b2a2c22ac cos B4c22c12，解得 c2(舍去)或c4.答案：46在 ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 的对边，且 b2ac，则 B 的取值范围是_【解析】cos Ba2c2b22ac（ac）2ac2ac（ac）22ac12 12，因为 0B，所以 B0，3.答案：0，37在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 c 2 b，cos B 2 cos C，a 3，则 S ABC_【解析】因为 cos B 2 cos C，所以a2c2b22ac2a
14、2b2c22ab，结合 c 2 b，化简得 a 3 b，从而有 b2c2a2，即 ABC 为直角三角形，将 c 2 b，a 3代入 b2c2a2，得 b1，于是 c 2，所以 S ABC12 bc 22.答案：228在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a3，b4，c6，则bc cos Aac cos Bbc cos C 的值是_【解析】因为 cos Ab2c2a22bc，所以 bc cos A12(b2c2a2)，同理 ac cos B12(a2c2b2)，ab cos C12(a2b2c2)，所以 bc cos Aac cos Bab cos C12(a2b2c2)
15、612.答案：612三、解答题9在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ab2c23ab.(1)求 C 的值；(2)若 ABC 的面积为3 32，c 7，求 a，b 的值【解析】(1)将等式(ab)2c23ab 变形为 a2b2c2ab，由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab ab2ab 12，因为 0C，故 C3.(2)由题意有12ab 32 3 32，a2b2ab7，整理得ab6，a2b213，解得a2，b3或a3，b2.10在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，c2a cos B.(1)判断 ABC 的形状；(2)若 c1，C6，求 ABC 的面积【解析】(1)因为 c2a cos B，所以 c2aa2c2b22ac，所以 a2c2b2c2，即 a2b2，所以 ab，ABC 为等腰三角形(2)由(1)知 ab，所以 cos Ca2b2c22ab2a212a2 32，解得 a22 3，所以 S ABC12 ab sin C12 a2sin C2 34.
