1、1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(
2、4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到：(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向
3、量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形()(4)两个向量的夹角的范围是0，()(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc)()1已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于()A. B. C. D.答案C解析由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选C.2(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则等于()Aa2 Ba2C.a2 D.a2答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2B
4、C2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.3已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.答案3解析|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149.|a|3.4已知O是ABC外心，若，则cosBAC_.答案解析O为三角形的外心，2，2，由2，整理得22，同理2，整理得2，cosBAC.5(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.题型一平面向量数
5、量积的运算例1(1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A20 B. 15 C9 D6(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案(1)C(2)11解析(1)，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无
6、论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.思维升华(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则_.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22
7、.(2)由题意知：()()()()224022.题型二用数量积求向量的模、夹角命题点1求向量的模例2(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|ab|等于()A1 B.C. D2(2)(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案(1)C(2)1解析(1)因为向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，所以|ab| .(2)设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离
8、的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.命题点2求向量的夹角例3(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_答案(1)A(2)解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(
9、2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.思维升华(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角为锐角的充要条件是cos 0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解(1)已知向量a，b满足|a|3，|b|2，若|ab|3，则向量a，b夹角的余弦值为_(2)已知O为ABC的外心，|16，|10，若xy，且32x25
10、y25，则|等于()A8 B10C12 D14答案(1)(2)B解析(1)由已知有|ab|2a22abb2322ab(2)2(3)2，ab3，cos .(2)根据O为ABC的外心，以及向量数量积的几何意义可得1616168，同理可得1010105.又因为xyx168y1054(32x25y)100，故选B.题型三平面向量与三角函数例4(2015广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos
11、x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab1，即|b|(1，)故选D.6已知六边形ABCDEF为正六边形，若向量(，1)，则|_；_.(用坐标表示)答案2(2，2)解析由(，1)知|2，而|.由正六边形的性质知，|2，故|2.因为，(，1)，且易知2，所以(2，2)，即(2，2)7.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.答案解析因为，60，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，所以2(139)，所以|.8在ABC中，若，则点O是ABC的
12、_(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)答案垂心解析，()0，0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理0，0，故O是ABC的垂心9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.10在ABC中，角A，B，C的对边分
13、别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0A，所以sin A .(2)由正弦定理，得，则sin B，因为ab，所以AB，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.B组专项能力提升(时间：25分钟)11(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7
14、C8 D9答案B解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，所以AC为圆直径，故2(4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，所以x1时有最大值7，故选B.12如图，已知ABC中，BAC90，B30，点P在线段BC上运动，且满足，当取到最小值时，的值为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，建立平面直角坐标系不妨设BC4，P(x,0) (0x4)，则A(3，)，C(4,0)，(3x，)(4x,0)(3x)(4x)x27x122.当x时，|，.13.如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是()A. B2
15、C0 D1答案A解析依题意得()()22120，故选A.14已知ABC中，|2，且B，则的取值范围是_答案解析因为，所以()()()0，即22，可得ABBC.由|2，可得2224，设ABBCa，则有2a22a2cos B4a2.因为B，可得cos B，所以a2cos B2，故答案为.15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4cos Ccos 2C4cos Ccos2.(1)求角C的大小；(2)若2，求ABC面积的最大值解(1)由4cos Ccos 2C4cos Ccos2，得4cos C2cos2C12cos C(1cos C)，解得cos C，由0C，得C.(2)取BC的中点D，则2|，在ADC中，AD2AC2CD22ACCDcos C，即4b222，ab8，当且仅当a4，b2时取等号，此时SABCabsin Cab，其最大值为2.
