1、四川省成都市2020届高三数学第一次诊断性检测试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用复平面的对称得到答案.【详解】数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则故选：【点睛】本题考查了复平面的对称问题，属于简单题.2.已知集合，若，则实数的值为( )A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】根据集合并集的定义即可得到答案.【详解】集合，且，所以或.
2、故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据得到，再利用二倍角公式得到答案.【详解】，故选：【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4.已知命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定定义得到答案.【详解】命题：，则为： ，故选：【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.5.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在50，100内，按得分分成5组：50，60），60，70），70，80
3、），80，90），90，100，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题6.设等差数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列的前项和为，且，3.故选：D【点睛】本题考查
4、了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题7.已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若，且，则【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案【详解】由m，n，且，得mn或m与n异面，故A错误；由m，n，且，得mn或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m，得m，又n，则mn，故C正确；由m，n且，得mn或m与n相交或m与n异面，故D错误故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的
5、判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题8.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象.故选：A【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题9.已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为
6、( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程，得其准线方程为：，设，由抛物线的性质得，中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为：.故选：B【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题10.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c1【详解】，且=，故选：C【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题11.已知直线与双曲线：相交于不同
7、的两点，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示：为双曲线右焦点，连接，计算得到，再利用余弦定理得到，化简得到答案.【详解】如图所示：为双曲线右焦点，连接，根据对称性知， 在和中，分别利用余弦定理得到：，两式相加得到 故选： 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出是解题的关键.12.已知定义在上的函数满足，当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，过定点，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到
8、答案.【详解】当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，函数关于对称，过定点 如图所示，画出函数图像：当与相切时，设切点为 则根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时故答案为故选： 【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13.已知实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【详解】作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分） 由得yx+z，平移直线y
9、x+z，由图象可知当直线yx+z经过点A时，直线yx+z的截距最大，此时z最大由，解得A（2，2），代入目标函数zx+2y得z22+26.故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题14.设正项等比数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到an【详解】在正项等比数列中，得，解得，an33n13n.故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题15.已知平面向量，满足，且，则向量与的夹角的大小
10、为_.【答案】【解析】【分析】根据得到，计算得到答案.【详解】设向量与的夹角为，故答案为：【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力.16.如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，现将，分别沿，折起使点，重合，重合后记为点，得到三棱锥则三棱锥的外接球体积为_【答案】【解析】【分析】根据两两垂直得到，代入体积公式计算得到答案.【详解】易知两两垂直，将三棱锥放入对应的长方体内得到 故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在中，角的对边分别为，且.（1）求的
11、值；（2）若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长详解】（1），由余弦定理可得2bccosAbc，cosA，在ABC中，sinA（2）ABC的面积为，即bcsinAbc，bc6，又sinB3sinC，由正弦定理可得b3c，b3，c2，则a2b2+c22bccosA6，所以周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公
12、式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（）完成下列列联表，并判断是否有把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计100（）已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”现从这6名
13、中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（）表见解析，没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（）【解析】【分析】（）完善列联表，计算得到结论.（）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，”，3名“观望者”分别为“，列出所有情况计算得到答案.详解】（）由题，列联表如下：属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100，没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性
14、別”有关.（）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，”，3名“观望者”分别为“，”.则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；”共20种.其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“；”共9种.抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.【点睛】本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，分别为，的中点（）证明：平面；（）点在棱上，且，证明：平面【答案】（）证明见解析（）证明见解析【解析】【分析】（）证明和得到平面.（）根据相似得到证明平面.【详解】（）如图，连接.底面为菱形，且，三角形为正三角形
15、.为的中点，.又平面，平面，.，平面，平面.（）连接交于点，连接.为的中点，在底面中，.，在三角形中，.又平面，平面，平面.【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.20.已知函数，为函数的导函数.（）讨论函数的单调性；（）当时，证明对任意的都成立.【答案】（）见解析（）证明见解析【解析】【分析】（）求导得到讨论，和四种情况得到答案.（）要证明即，求导得到函数得到证明.【详解】（）.，当时，函数在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）当时，.
16、令，则.令，函数在内单调递增，存在唯一的，使得.当时，；当时，；函数在内单调递减，在内单调递增.又，即对任意的都成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键21.已知椭圆：右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，为线段的中点，直线与直线的交点为.（）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；（）证明直线与轴平行.【答案】（）（）证明见解析【解析】【分析】（）令直线：，联立方程利用韦达定理得到，换元带入化简得到答案.（）直线的方程为，令得，.代入（）中式子化简得到答案.【详解】（）由题，令直线：，.联立消去，得.，.四边
17、形的面积.令，.（当且仅当即时取等号），.四边形面积的取值范围为.（），.直线的斜率，直线的方程为.令得，.由（），.，.化简，得.直线与轴平行.【点睛】本题考查了面积的范围，直线的平行问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22.在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点的两点，求的面积.【答案】（
18、1）曲线：，曲线：；（2）【解析】【分析】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合2x2+y2，xcos，ysin，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为1，2，求得|AB|12|，再求出M（3，）到射线的距离h，即可求得MAB的面积【详解】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：，2x2+y2，xcos，ysin，曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为4cos；（2）在极坐标系中，设A，B极径分别为1，2，又点到射线的距离为的面积【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题23.已知函数（1）解不等式；（2）若，求证：【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）原不等式可化为：|x3|4|2x+1|，即|2x+1|+|x3|4，分段讨论求出即可；（2）由基本不等式得的最小值，转化为|x+|f（x）恒成立即可【详解】（1）原不等式化为，即时，不等式化为，解得；时，不等式化为，解得，；时，不等式化为，解得，.综上可得：原不等式解集为.（2），当且仅当且时取等号.又，当且仅当时取等号.【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题
