1、 数学（理）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）A B C D2.已知集合，则等于（ ）A B C D3. 下列说法正确的是（ ）A，“”是“”的必要不充分条件B“且为真命题”是“或为真命题” 的必要不充分条件C命题“，使得”的否定是：“”D命题：“”，则是真命题4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量和是否有关系时，通过查阅下表来确定“和有关系”的可信度如果，那么有把握认为“和有关系”的百分比为（ ）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0
2、050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83A 5% B 75% C 99.5% D95%5.已知向量，若，则（ ）A1 B C D26.设，则的值为（ ）A B C D7.九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布（ ）A B C D8. 一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）A B C9 D109.若正数满足：，
3、则的最小值为（ ）A2 B C D10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）A BC D11.已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点，给出以下判断：一定是钝角三角形 可能是直角三角形 可能是等腰三角形 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）A B C D12.已知函数有两个极值点，若，则关于方程的实根个数不可能为（ ）A2 B3 C4 D5第卷（非选择题，90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数满足不等式组，则的最小值是_14.设，则_15.已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则_16.定义在上的函数在上单调递增，且是
4、偶函数，若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）设锐角三角形的内角的对边分别为.（1）求的大小；（2）求的取值范围.18.（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（2）求的
5、分布列及期望.19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，其中的离心率为.（1）求的值；（2）过点的直线与分别交于点 (均异于点)，是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）设函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分.2
6、2.（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，其中点的极坐标为.（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为（1）求实数的值；（2）求的最大值参考详细答案1.A【解析】本题主要考查纯虚数、复数的四则运算.因为复数是纯虚数,所以，则m=0，所以，则.2.B【解析】本题主要考查集合的基本运算.，,则3.A【解析】本题主要考查常用逻辑用语，考查了逻辑推理能力.A.若
7、，则或a0,则,若d0,则,所以,即,故错误，正确，答案为B.12.D【解析】本题主要考查导数、函数的性质、零点与极值，考查了逻辑推理能力与计算能力.，由题意可知，是的两个零点，也是的两个零点，观察方程的形式，知该方程的根即是满足或的x的值，因为有两个极值点，而是开口向下的二次函数，所以的增减趋势是，当时，是递减；当时，是递增；当时，是递减，所以函数的的图像是先减，再增，最后减，因此，方程的解的个数可能是1个,2个,3个和4个，因此答案为D.13.-1【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间
8、的关系可知，当直线过点A(1,0)时，目标函数取得最小值14.33【解析】本题主要考查二项式定理.令x=2可得15.0【解析】本题主要考查抛物线的性质、直线的斜率，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为,所以点F是的重心，由题意，设A，B，C,则，,则理可得，,则16.或【解析】本题主要考查函数的图像与性质、三角函数，考查了恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力.因为是偶函数,所以函数的图像关于直线对称，因为函数在上单调递增,所以函数在上单调递减，对一切实数,不等式,函数的对称性可知，比离对称轴近，即,去括号可得到,两边平方，整理可得,令,则,由二次函数的图像与性质可得，求解可得或17.(1)由,根据
9、正弦定理得,由为锐角三角形得.(2)由ABC为锐角三角形知,.则.由此有,的取值范围为.【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式、三角函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)由正弦定理化简可得,即可得出结论；(2)由题意，化简可得，易得，再利用正弦函数的性质求解即可.18.(1)由表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.(2)的可能取值为200元,250元,300元,的分布列为:2002503000.40.40.2元.【解析】本题主要考查、随机事件、对立事件的概率、离散型随机变量的分布列与期望，考查了分析问
10、题与解决问题的能力.(1)由题意，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，求出，即可求出结论；(2)的可能取值为200元,250元,300元，根据的分布列，求出的每一个变量的概率，即可得到的分布列与期望.19.解法一:(1)平面平面,又,即为与交点).又,平面.(2)过作,垂足为,连接.平面是在平面上的射影,由三垂线定理知,为二面角的平面角.又,又,由得.在中,由此可得余弦值为.二面角的余弦值为.解法二:(1)如图,建立坐标系,则,又,平面.(2)设平面的法向量为,则,又,解得,.平面的法向量取为.二面角的余弦值为.【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应
11、用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.法一：(1)由题意，,经计算，则可得结论；(2) 过作,垂足为,连接，易证为二面角的平面角，则结论易得；法二：(1) 如图,建立坐标系,证明,则可得结论；(2)求出平面的一个法向量，平面的一鼐法向量取为，再利用向量的夹角公式求解即可.20.(1)在的方程中,令,可得,且是上半椭圆的左、右顶点,设半焦距为,由及可得,.(2)方法一:由(1)知,上半椭圆的方程为,易知,直线与轴不重合也不垂直,设其方程为,代入的方程,整理得:(*)设点的坐标为,直线过点,是方程(*)的一个根,由求根公式,得,从而,点的坐标为,同理,由,得点的坐标为.依题意可知,.,即,解得.经
12、检验,符合题意,故直线的方程为.方法二:若设直线的方程为:,比照方法一.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)根据题意，令y=0，得b=1，再由椭圆的离心率，即可得出结论(2)法一：易知,直线与轴不重合也不垂直,设其方程为,联立椭圆方程，求出点P的坐标，再联立抛物线方程，求出点Q的坐标，由题意,则，则结论易得；法二：设直线的方程为:,解法同方法一21.(1)的定义域为,令,其判别式.当时,故在上单调递增,当时,的两根都小于0,在上,故在上单调递增,当时,的两根为,当时,;当时,;当时,故分别在上单调递增,在上单调递
13、减.(2)由(1)知,.因为,所以,又由(1)知,.于是.若存在,使得.则.即,亦即(*).再由(1)知,函数在上单调递增,而,所以.这与(*)式矛盾,故不存在,使得.【解析】本题主要考查导数、函数的性质、直线的斜率公式，考查了转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)的定义域为，令,其判别式，分、三种情况讨论求解即可得出结论；(2) 由(1)知,，则化简可得，则，即，由(1)知,函数在上单调递增,而,则结论易得.22.(1)因为点的极坐标为.所以点的直角坐标为.(2)设:则,【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、三角函数的性质.(1)易知曲线表示圆心在原点,半径为2的圆，由题意易得正方形四个顶点的坐标；(2) 设，由两点间的距离公式化简可得，再由三角函数的性质求解即可.23.(1)由,则,所以且,得.(2).当且仅当,即时取等号;【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、柯西不等式，考查了逻辑推理能力.(1)去绝对值，化简，结合不等式的解集，即可得出结论；(2)，利用柯西不等式求解即可.
