1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时 一元二次不等式的解法 课标解读课标要求素养要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.1.数学抽象能够认识到二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系.2.数学运算会求一元二次不等式的解集，能够借助一元二次不等式解决实际应用问题.自主学习必备知识教材研习教材原句 要点一 一元二次不等式一般地，我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c0 或ax2+b
2、x+c0) ，设= b2-4ac ，它的根按照 0 ， =0 ， 0) 的图像与 x 轴的位置也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 和ax2+bx+c0) 的解集.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系0=00(a0) 的图象ax2+bx+c=0(a0) 的根有两个不相等的实数根x1 ，x2 （x10(a0) 的解集xx2有两个相等的实数根x1=x2=-b2aRax2+bx+c0) 的解集xx1xx2xx-b2a一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c ，我们把使ax2+bx+c=0 的实数x 叫做二次函数y=ax2+bx+c 的零点.
3、自主思考1.不等式x3-x2+10 是一元二次不等式吗？答案：提示 不等式x3-x2+10 中未知数的最高次数是3，根据一元二次不等式的定义，可知该不等式不是一元二次不等式.2.当m 满足什么条件时，不等式(m-1)x2+x0 是一元二次不等式？答案：提示 当m2-10 ，即m1 时，(m-1)x2+x0 的解集为R ？答案：提示 若一元二次不等式ax2+x-10 的解集为R ，则a0=1+4a0 的解集为R .4.若不等式x2+x+a0 的解集为 ，则实数a 应满足什么条件？答案：提示 若不等式x2+x+a0 的解集为 ，则=1-4a0 ，解得a14 .5.求出函数y=x2-x-2 的零点.
4、答案：提示 由x2-x-2=0 解得x1=-1 ，x2=2 ，所以函数y=x2-x-2 的零点是-1和2.名师点睛对一元二次不等式概念的两点说明（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只需明确指出这些字母所代表的量就可以使用，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”.（2）“最高次数是2”仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制.互动探究关键能力探究点一 一元二次不等式的解法精讲精练例 解下列不等式：（1）2x2+5x-30 ；（2）4x2-4x+10 ；（3）-x2+6x-100 .答案：（1）易知方程2x2+5x-3=0 的两个实根分别为x1=
5、-3 ，x2=12 ，作出函数y=2x2+5x-3 的图象（图略）.由图象可得原不等式的解集为x|-3x12 .（2）易知方程4x2-4x+1=0 有两个相等的实根，为x1=x2=12 .作出函数y=4x2-4x+1 的图象，如图所示.由图象可得原不等式的解集为x|x12 .（3）原不等式可化为x2-6x+100 ，相应方程为x2-6x+10=0 ，=36-40=-40 ， 方程x2-6x+10=0 无实根， 原不等式的解集为 .解题感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正.（2）判别式：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计
6、算相应方程的判别式.（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.（4）画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象.（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.迁移应用1.不等式x2-32x 的解集是( )A.x|-1x3B.x|-3x1C.x|x-1或x3D.x|x-3或x1答案：A解析：不等式x2-32x 可化为x2-2x-30 ，对于方程x2-2x-3=0 ，因为0 ，所以方程有两个实数根，解得x1=-1 ，x2=3 .结合二次函数y=x2-2x-3 的图象（图略）得不等式x2-32x 的解集为x|-1x3 .故选A.2.不等式-6x2-x+20 的解集
7、是( )A.x|-23x12B.x|x-23或x12C.x|x12D.x|x-32答案：B解析：不等式-6x2-x+20 可化为6x2+x-20 .对于方程6x2+x-2=0 ，因为0 ，所以方程有两个实数根，解得x1=-23 ，x2=12 .结合二次函数y=6x2+x-2 的图象（图略）得不等式-6x2-x+20 的解集是xx-23或x12 .故选B.3.在R 上定义运算:ab=ab+2a+b ，则关于实数x 的不等式x(x-2)0 的解集为 .答案： x|-2x1解析：由题意可知不等式x(x-2)0 可转化为x(x-2)+2x+x-20 ，即x2+x-20 .对于方程x2+x-2=0 ，因
8、为0 ，所以方程有两个实数根，解得x1=-2,x2=1 ，结合二次函数y=x2+x-2 的图象（图略）得不等式的解集为x|-2x1 .探究点二 含参数的一元二次不等式的解法精讲精练例 设aR ，解关于x 的不等式2x2+a+20 .答案：对于方程2x2+ax+2=0 ，=a2-16 ，下面分情况讨论：当0 ，即-4a4 时，方程2x2+ax+2=0 无实根，所以原不等式的解集为R .当0 ，即a4 或a-4 时，方程2x2+ax+2=0 有两个实数根，分别为x1=14(-a-a2-16) ，x2=14(-a+a2-16)当a=-4 时，原不等式的解集为x|xR,且x1 ；当a4 或a-4 时，
9、原不等式的解集为x|x14(-a-a2-16)或x14(-a+a2-16) ；当a=4 时，原不等式的解集为x|xR,且x-1 .综上，当-4a4 时，解集为R ；当a4 或a-4 时，解集为x|x14(-a-a2-16)或x14(-a+a2-16) ；当a=-4 时，解集为x|xR,且x1 ；当a=4 时，解集为x|xR,且x-1 .解题感悟解含参数的一元二次不等式的步骤提醒：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式 ，用求根公式计算.迁移应用1.求关于x 的不等式ax2-3x+41+ax(a0) 的解集. 答案：ax2-3x+41+ax(a0) ，ax2-(a
10、+3)x+30 ，即(ax-3)(x-1)0 ，易知方程(ax-3)(x-1)=0 的两个根分别为x1=3a ，x2=1 ，当0a3 时，3a1 ，原不等式的解集为x|x1或x3a .当a=3 时，3a=1 ，原不等式的解集为x|x1 .当a3 时，3a1 ，原不等式的解集为x|x3a或x1 .探究点三 三个“二次”的关系及应用精讲精练例 已知关于x 的不等式ax2+(a-2)x-20(aR) .（1）若不等式的解集为x|x-1或x2 ，求a 的值；（2）若不等式只有一个解，求a 的值和该不等式的解集.答案：（1）因为不等式的解集为x|x-1或x2 ，所以函数y=ax2+(a-2)x-2 的图
11、象与x 轴的交点的横坐标为-1和2，且抛物线开口向上，由此可知，a0 且-1和2是方程ax2+(a-2)x-2=0 的两个根，由根与系数的关系可得-1+2=-a-2a,-12=-2a, 解得a=1 .（2）设y=ax2+(a-2)x-2 ，若不等式ax2+(a-2)x-20 只有一个解.则函数y=ax2+(a-2)x-2 的图象与x 轴只有一个交点且开口向下.a0,=(a-2)2+8a=0, 解得a=-2 .此时，原不等式为-2x2-4x-20 ，即x2+2x+10 ，解得x=-1 . 不等式ax2+(a-2)x-20 的解集为x|x=-1 .解题感悟三个“二次”之间的关系解决一元二次方程和一
12、元二次不等式问题时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，三者关系如下：提醒：易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集.迁移应用1.若不等式ax2+bx+c0 的解集是x|-13x2 ，求不等式cx2+bx+a0 的解集.答案：因为ax2+bx+c0 的解集为x|-13x2 ，所以函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标分别为-13 和2，且抛物线开口向下，即a0 ，由此可知，-13 和2为方程ax2+bx+c=0 的两个根，由根与系数的关系可得-ba=53,ca=-23, 解得b=-53a,c=-23a.则不等式cx2+bx+a0 等
13、价于-23ax2+(-53a)x+a0 ，即2ax2+5ax-3a0 ，又a0 ，所以2x2+5x-30 .解方程2x2+5x-3=0 ，得x1=-3 ，x2=12 .所以所求不等式的解集为x|-3x12 .2.已知不等式ax2-3x+64 的解集为x|x1或xb .（1）求a ，b 的值；（2）解不等式(x-c)(ax-b)0 .答案：（1）因为不等式ax2-3x+64 的解集为x|x1或xb ，所以x1=1 和x2=b 是方程ax2-3x+2=0 的两个根，把x1=1 代入方程得a12-31+2=0 ，解得a=1 ，所以方程为x2-3x+2=0 ，由根与系数的关系得1b=2 ，解得b=2
14、.综上，a=1 ，b=2 .（2）由（1）可知，原不等式为(x-c)(x-2)0 ，方程(x-c)(x-2)=0 的两个根为x1=c ，x2=2 .当c2 时，不等式的解集为x|xc或x2 ；当c2 时，不等式的解集为x|x2或xc ；当c=2 时，不等式的解集为x|x2 . 评价检测素养提升课堂检测1.已知集合M=x|-4x2 ，N=x|x2-x-60 ，则MN= ( )A.x|-4x3 B.x|-4x-2C.x|-2x2 D.x|2x3答案：C2.不等式x2+5x-60 的解集是( )A.x|x-2或x3 B.x|-2x3C.x|x-6或x1 D.x|-6x1答案：C3.设一元二次不等式a
15、x2+bx+10 的解集为x|-1x13 ，则ab 的值是 .答案： 6解析： 一元二次不等式ax2+bx+10 的解集为x|-1x13 ， 函数y=ax2+bx+1 的图象与x 轴交点的横坐标分别为-1和13 ，且抛物线开口向下，-1 和13 是方程ax2+bx+1=0 的两个实数根，由根与系数的关系得-1+13=-ba,-113=1a,解得a=-3,b=-2,ab=6 .4.（）若不等式ax2+ax-10 的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.答案：当a=0 时，不等式ax2+ax-10 化为-10 ，符合题意；当a0 时，由题意可得函数y=ax2+ax-1 的图象在x 轴下方或与x
16、轴相切，所以需满足a0,0, 即a0,a2+4a0,解得-4a0 .综上，实数a 的取值范围是a|-4a0 .素养演练逻辑推理、数学运算含参数的不等式的求解问题1.解关于x 的不等式ax2-2(a+1)x+40(aR) .答案：当a=0 时，原不等式可化为-2x+40 ，解得x2 ，所以原不等式的解集为x|x2 .当a0 时，原不等式可化为(ax-2)(x-2)0 ，对应方程(ax-2)(x-2)=0 的两个根分别为x1=2a,x2=2 .当0a1 时，2a2 ，则原不等式的解集为x|x2a或x2 ；当a=1 时，2a=2 ，则原不等式的解集为x|x2 ；当a1 时，2a2 ，则原不等式的解集
17、为x|x2或x2a .当a0 时，原不等式可化为(-ax+2)(x-2)0 ，对应方程(-ax+2)(x-2)=0 的两个根分别为x1=2a ，x2=2 ，因为2a2 ，所以原不等式的解集为x|2ax2 .综上，当a0 时，原不等式的解集为x|2ax2 ；当a=0 时，原不等式的解集为x|x2 ；当0a1 时，原不等式的解集为x|x2a或x2 ；当a=1 时，原不等式的解集为x|x2 ；当a1 时，原不等式的解集为x|x2或x2a .素养探究：因为所给的不等式中的二次项系数含有参数a，并且不清楚参数a 的符号，所以首先需讨论参数a 的符号，在此条件下再通过讨论相应方程的根的大小来确定不等式的解
18、集，过程中培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.迁移应用1.解关于x 的不等式ax2-22x-ax(aR) .答案：原不等式可变形为ax2+(a-2)x-20 ，当a=0 时，原不等式的解集为x|x-1 .当a0 时，原不等式可变形为(ax-2)(x+1)0 ，方程(ax-2)(x+1)=0 的两个根分别为x1=2a,x2=-1 ，当a0 时，2a-1 ，则原不等式的解集为x|x2a或x-1 .当a0 时，当-2a0 时，2a-1 ，则原不等式的解集为x|2ax-1 ；当a=-2 时，原不等式的解集为x|x=-1 ；当a-2 时，2a-1 ，则原不等式的解集为x|-1x2a .综上：当a=0 时，原不等式的解集为x|x-1 ；当a0 时，原不等式的解集为x|x2a或x-1 ；当-2a0 时，原不等式的解集为x|2ax-1 ；当a=-2 时，原不等式的解集为x|x=-1 ；当a-2 时，原不等式的解集为x|-1x2a .
