1、高考资源网() 您身边的高考专家3.3三角函数的积化和差与和差化积知识梳理1.积化和差公式sincos=sin(+)+sin(-);cossin=sin(+)-sin(-);coscos=cos(+)+cos(-);sinsin=-cos(+)-cos(-). 特点:同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半,等式左边为单角、,等式右边为它们的和差角.2.和差化积公式sinx+siny=2sincos;sinx-siny=2cossin;cosx+cosy=2coscos;cosx-cosy=-2sinsin.3.常用到的三角恒等变换f(x)
2、=asinx+bcosx=sin(x+)(ab0),其中tan=,由a和b的符号确定所在的象限.知识导学 复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用,难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.疑难突破1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式?剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式,不知道从何处入手.其突破口是:利用方程的思想推导积化和差公式,利用“换元”思想推导和差化积公式.(1)积化和差公式的推导sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin,+,得sin(+)+sin(-)=2sincos, 即sincos
3、=sin(+)+sin(-).-得sin(+)-sin(-)=2cossin, 即cossin=sin(+)-sin(-).cos(+)=coscos-sinsin,cos(-)=coscos+sinsin,+得cos(+)+cos(-)=2coscos. 即coscos=cos(+)+cos(-).-得cos(+)-cos(-)=-2sinsin, 即sinsin=-cos(+)-cos(-).(2)和差化积公式的推导 令+=,-=,则=,=, 代入sincos=sin(+)+sin(-), 得sincos=sin(+)+sin(-),sincos=(sin+sin). 整理得sin+sin
4、=2sincos. 同理可得sin-sin=2cossin;cos+cos=2coscos;cos-cos=-2sinsin.2.和差化积与积化和差公式有什么作用?剖析:难点是推导出了公式,但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点,还要依赖于平时经验的积累. 可从以下几方面来理解这两组公式:(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言,并不是指角的关系;(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差,才能直接应用公式化为积的形式.如sin+cos就不能直接化积,应先化成同名函数后,再用公式化成积的形式;(3)三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,则因式分解在代数中起什么作用,和差化积
5、公式就起什么作用. 积化和差与和差化积是一对孪生兄弟,不可分离,在解题过程中,要切实注意两者的交替使用.一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂,然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算. 和积互化公式其基本功能在于:当和、积互化时,角度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中,当遇到三角函数的和时,就试着化为积的形式;当遇到三角函数的积时,就试着化为和差的形式,往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.高考资源网版权所有,侵权必究!