1、模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.与-597角终边相同的角的集合是()A.|=k360+237,kZB.|=k360+597,kZC.|=k360+123,kZD.|=k360-263,kZ【解析】选C.-597=-360-237,而-237=-360+123.所以-597=-2360+123.故选C.2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是()A.-4,6B.-6,4C.-6,2D.-2,6【解析】选C.由|a+b|5平方得a2+2ab+b225,由题意得8+2(-10+2k)+25+k225,即k2+4k-1
2、20,(k+6)(k-2)0,求得-6k2.3.已知sin=,cos 2=,则tan=()A.3B.-3C. 3D. 4【解析】选A.由sin=sin -cos =,cos2=cos2-sin2=,所以=,由可得cos +sin =-,由得sin =,cos =-,所以角为第二象限角,所以为第一、三象限角,tan=3.4.(2019全国卷)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2,选项D不是
3、周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.5.(2020武汉高一检测) 已知=(1,1),=(4,1),=(4,5),则与夹角的余弦值为()A.B.C.0D.【解析】选B.=(3,0),=(3,4),所以cos =.6.设a=(1-cos ,),b=(3,-sin )且ab,则锐角为()A.B.C.D.【解析】选C.因为ab,所以3(1-cos )-sin =03-2=3-2sin=0,故sin=,所以+=+2k或+=+2k(kZ),故锐角为.7.(2020海口高一检测)设,且tan =,则()A.3-=B.2-=C.3+=D.2+=【解析】选B.方法一:由tan =得=,即sin cos =c
4、os +cos sin ,所以sin (-)=cos =sin.因为,所以-,-.所以由sin(-)=sin,得-=-.所以2-=.方法二:tan =tan,所以=k+,kZ.所以2-=2k+,kZ.又,所以2-,所以k=0,2-=.8.已知|p|=2,|q|=3,p,q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则|为()A.B.C.7D.18【解析】选A.=(+)=(5p+2q+p-3q)=(6p-q),所以|=.9.(2020长沙高一检测)y=Asin(x+)(A0,0,|)的图象的一段如图所示,它的解析式是()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解
5、析】选A.由题干图象可知A=,T=2=,所以=2,所以y=sin(2x+),代入点,得sin=1,又因为|0,0,|)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2,且g=,则f=()A.-2B.-C.D.2【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,的值即可.【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin =0,由|可得=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinx,g(x)的最小正周期为2,可得=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.12.已知菱
6、形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若=1,=-,则+=()A.B.C.D.【解析】选C.因为BAD=120,所以=|cos 120=-2.因为BE=BC,DF=DC,所以=+,=+.又因为=1,所以(+)(+)=1,即2+2-=.同理可得,=-=-.由+,得+=.二、填空题(每小题5分,共20分)13.cos=.【解析】cos=cos=cos=.答案:14.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则=.【解析】=+=+=+(-)=c+a-b.答案:c+a-b15.(2019全国卷)函数f(x)=sin-3cos x
7、的最小值为.【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2+,因为-1cos x1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4.答案:-416.(2020全国卷)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:f(x)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关于原点对称.f(x)的图象关于直线x=对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【解析】对于,由sin x0可得函数的定义域为,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称
8、, 错对.对于,由于f(-x)=sin(-x)+=sin x+=f(x),所以f(x)关于x=对称,对.对于,令t=sin x,t-1,0)(0,1,由对勾函数g(t)=t+的性质,可知g(t)(-,-22,+),所以f(x)无最小值,错.答案:三、解答题(共70分)17.(10分)已知角的终边过点P.(1)求sin 的值.(2)求的值.【解析】(1)因为|OP|=1(O为坐标原点),所以点P在单位圆上,由正弦函数定义得sin =-.(2)原式=,由(1)得sin =-,P在单位圆上,所以由已知条件得cos =.所以原式=.18.(12分)如果向量=i-2j,=i+mj,其中,i,j分别是x轴
9、,y轴正方向上的单位向量,试分别确定实数m的值使:(1)A,B,C三点共线.(2).【解析】(1)由题意知,=,则i-2j=(i+mj),于是得m=-2.(2)由得=0,所以(i-2j)(i+mj)=i2+mij-2ij-2mj2=0,所以1-2m=0,解得m=.【补偿训练】 设e1,e2是正交单位向量,如果=2e1+me2,=ne1-e2,=5e1-e2,若A,B,C三点在一条直线上,且m=2n,求m,n的值.【解析】以O为原点,e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,则=(2,m),=(n,-1),=(5,-1),所以=(3,-1-m),=(5-n,0),又因为A
10、,B,C三点在一条直线上,所以,所以30-(-1-m)(5-n)=0,与m=2n构成方程组解得或19.(12分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)若|a-b|=,求证:ab;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.【解析】(1)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故ab.(2)因为a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以由此得,cos =cos(-),由0,得0-.又0,所以=,=.20.(12分)已知函数y=cos2x
11、+sin xcos x+1,xR.(1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的简图.(3)该函数的图象可由y=sin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?【解析】y=cos2x+sin xcos x+1=cos 2x+sin2x+=sin+.(1)y=cos2x+sin xcos x+1的振幅为A=,周期为T=,初相为=.(2)令x1=2x+,则y=sin+=sin x1+,列出下表,并描点得出的图象如图所示:x-x102y=sin x1010-10y=sin+(3)方法一:将函数图象依次作如下变换:函数y=sin x的图象函数y=sin的图象.函数y=sin的图象函数y
12、=sin的图象函数y=sin+的图象,即得函数y=cos2x+sin xcos x+1的图象.方法二:函数y=sin x的图象函数y=sin 2x的图象函数y=sin的图象函数y=sin+的图象函数y=sin+的图象,即得函数y=cos2x+sin xcos x+1的图象.21.(12分)在如图所示的直角坐标系xOy中,点A,B是单位圆上的点,且A(1,0),AOB=.现有一动点C在单位圆的劣弧上运动,设AOC=.(1)求点B的坐标.(2)若tan =,求的值.(3)若=x+y,其中x,yR,求x+y的最大值.【解析】(1)由任意角的三角函数定义,可得点B的坐标为.(2)因为=(1,0),=(
13、cos ,sin ),所以=cos .又tan =,且0,所以cos =,即=.(3)方法一:由=x+y,得(cos ,sin )=x(1,0)+y,所以得所以x+y=cos +sin =(cos +sin )=sin,又0,所以当=时,x+y有最大值.方法二:由已知可得即所以x+y=cos +sin =sin.又0,所以当=时,x+y有最大值.22. (12分)如图所示,一条直角走廊宽为2 m.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1 m.直线EF分别交直线AC、BC于M、N,过墙角D作DPAC于P,DQBC于Q.(1)若平板车卡在直角走廊内,且CAB=,试求平板面的长(用表示).(2)若平板车顺利通过直角走廊,其长度(设为l)不能超过多少m?【解析】(1)DM=,DN=,MF=,EN=tan ,所以EF=DM+DN-MF-EN=+-tan =.(2)“平板车顺利通过直角走廊”,即对任意角,平板车的长度不能超过l的最小值.记sin +cos =t,1t,有sin cos =,所以l=+,因为y=,y=都是减函数,当t=时,l取得最小值4-2.故若平板车顺利通过直角走廊,其长度不能超过(4-2) m.
