1、高考资源网（） 您身边的高考专家 2012年上海市普通高等学校秋季招生考试高考数学考前押题卷2（文理科）（内部资料2012.6）考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 3.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1、已知，且为的共轭复数，若(是虚数单位)，则= 2、在中，已知，则角的大小为 .3、已知两条直线：，：若的一个法向量恰为的一个方向向量，则 4、已
2、知集合，函数的定义域为集合，则= . 5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：成 绩人 数401150602213708090则总体标准差的点估计值是 .（精确到）6、若函数图像与函数的图像关于直线对称，则.7、若，其中都是实数，是虚数单位，则= .8、（理）的二项展开式中，常数项的值是 .（文）已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值是.AA1BACAC1B1第10题9、已知数列是公差为2的等差数列，则= 10、如图：已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，过顶点作底面的垂线，若垂足为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 .11、5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生
3、都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为_.（结果用最简分数表示）12、考察下列一组不等式： 将上述不等式在左右两端视为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为13、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .14、 若函数（）满足，且时，函数，则函数在区间内的零点的个数为_.二、 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，
4、每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15、圆与圆的位置关系是 ( )(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 16、已知无穷等比数列的前项和为，各项的和为，且，则其首项的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D)17、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图像上有且仅有个整点，则称函数为阶整点函数有下列函数：； ； ； ，其中是一阶整点函数的个数为 （ ）（A） （B） （C） （D）18、
5、已知正方形的面积为，平行于轴，顶点、和分别在函数、和（其中）的图像上，则实数的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、解答题：（本大题共有5道题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤19、（本题满分14分）(理)将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为，已知.（）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）； （）定义：对于直角坐标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离” ，并用符号表示.试求的最大值.（文）已知向量，函数.()求函数的最小正周期；()已知，分别为内角，的对边，其中为锐角，且，求，和的面积.20、（本题
6、满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且（1） 若点、分别在棱、上，且，求证：平面；（2） 若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长 （本题满分16分）本题共2小题，第1小题8分，第2小题8分(理)已知是偶函数，当时，当时，恒成立. （） 若,求的最小值; （） 求的最小值； （）当时，是否存在，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.（文）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题
7、6分。 设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项（1）求数列的通项公式； （2）在集合，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由； （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分(理)已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：；请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2） 现要在等轴双曲线
8、上选一处建一座码头，向、两地转运货物经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？ （3） 如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）（文）已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（）求椭圆的方程；（）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，求证：为定值.参考答案：1 2 33 4. 5 6 7 8 91 10 11 12、 13、;14、15、 C 16、 17、B 18、19、略20、【解】（1）以点为坐标原点，
9、为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系 1分则，因为，所以， 3分则， 5分，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面 7分（2），可设，所以向量的坐标为， 8分 平面的法向量为点到平面的距离 10分中，所以 12分三棱锥的体积，所以 13分此时向量的坐标为，即线段的长为 14分21、(理)（1） ,在区间上单调递增，即，所以，当时，因为函数为偶函数，所以当时， （2） 若，则，所以函数在区间上单调递减，即所以，当时，因为函数为偶函数，所以当时，若，即，在区间上单调递增，即，所以，当时，因为若，即，当时，所以若，即，当时，所以综上所述，因为函数为偶函数，所以当时， （3） 当时， 由（2）知，由
10、，在上是减函数，故在上是减函数要使，只要即 设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立 （文） 解： （1）2分因为，所以，4分故函数的值域为6分 （2）由得令，因为，所以所以对一切的恒成立8分 当时，；9分 当时，恒成立，即11分因为，当且仅当，即时取等号12分所以的最小值为13分综上，14分 22、解：（1）由题意得， ， 当时，解得，（1分）当时，有 ，式减去式得，于是，（2分）因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，（3分）所以的通项公式为（）（4分）（2）设存在满足条件的正整数，则，（6分）又，所以，均满足条件，它们组成首项为，公
11、差为的等差数列（8分）设共有个满足条件的正整数，则，解得（10分）所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为（12分）（3）设，即，（15分），则，其极限存在，且（18分）注：（为非零常数），（为非零常数），（为非零常数，）等都能使存在23、【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以不是双曲线的方程1分 双曲线不经过点，所以不是双曲线的方程 2分 所以是等轴双曲线的方程 3分 等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上， 4分联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，所以双曲线的实轴长为 5分（2） 所求问题即为：在双曲线求一点，使最小首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上 6分等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为 又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点， 7分设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：所以，要求的最小值，只需求的最小值 8分直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为 9分 所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低 10分（3） ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点； 1分 渐近线是和当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于 2分 双曲线的对称轴是和 3分 双曲线的顶点为，实轴在直线上，实轴长为 4分虚轴在直线，虚轴长为 5分焦点坐标为，焦距 6分
