1、第三章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复AC.1-iD.1+i解析:A.答案:A2.下列命题中,正确的是()A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C.如果与复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数解析:复数的模大于或等于0,故选项A不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,因此选项B不正确;同理选项C也不正确,选项D正确.答案:D3.A解析:原答案:C4.复A解析:a=答案:C
2、5.若复数z满足z-1A.1B.0C.-1D.解析:由题意,z所以z2+z+1=0,即z2+z=-1.答案:C6.已知(3z=-AC.解析:(3z=-z故复数z的虚部答案:C7.设zA.8-8iB.8+8iC.-8+8iD.-8-8i解析:z=i+(-2i)=-i,(1+z)7=(1-i)7=(1-i)(1-i)23=(1-i)8i=8+8i.答案:B8.复数z满足条件:|2z+1|=|z-i|,那么z对应点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:设z=x+yi(x,yR),则|2x+2yi+1|=|x+yi-i|,所以3x2+3y2+4x+2y=0.故z对应点的轨迹是圆.答案:A
3、9.复数zR,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z当m-10;当-14综上可知,z对应的点不可能位于第一象限.答案:A10.实数x,y,有以下关系:x+yi=3+5cos +i(-4+5sin )(其中i是虚数单位),则x2+y2的最大值为()A.10B.16C.25D.100解析:由x+yi=3+5cos +i(-4+5sin ),得x=3+5cos ,y=-4+5sin ,x2+y2=(3+5cos )2+(-4+5sin )2=50-40sin +30cos =50-50sin(+)(为常数).sin(+)-1,1,x2+
4、y2的最大值为100.答案:D二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若(1+i)(2+i)=a+bi,其中a,bR,i为虚数单位,则a+b=.解析:因为(1+i)(2+i)=1+3i=a+bi,所以a=1,b=3,a+b=4.答案:412.若z1=1-i,z2=3-5i,则复平面内z1,z2对应的两点之间的距离为.解析:z1,z2对应的两点间的距离为|z1-z2|=|(1-i)-(3-5i)|=|-2+4i|答案:13.关于x的不等式mx2-nx+p0(m,n,pR)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第象限.解析:mx2-n
5、x+p0(m,n,pR)的解集为(-1,2),即m0.故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.答案:二14.已知x2+ix+6=2i+5x,若xR,则x=;若xC,则x=.解析:当xR时,由复数相等的充要条件x=2;当xC时,令x=a+bi(a,bR),则所以x=2或x=3-i.答案:23-i或215.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2为实数),定义运算“”:z1z2=x1x2+y1y2,设非零复数1,2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,如果12=0,那么在P1OP2中,P1OP2的大小为.解析:设1=x1+y1i,2=x2
6、+y2i(x1,y1,x2,y2R),12=0,x1x2+y1y2=0.OP1OP2.P1OP2答案:三、解答题(本大题共3个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2分析将z=1+i,根据两个复数相等的条件求a,b.解:z=1+i,az+2(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.a,bR,由复数相等,两式相加整理,所求实数17.(8分)设O为坐标原点,已知向R),解:依题0.a2+2a-15=0.解得a=-5或a=3.又分母不为零,a=3.此时z118.(9分)已知复数z满足|z|(1)求z;(2)若z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cosABC.解:(1)设z=x+yi(x,yR).|z|x2+y2=2.又z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,2xy=2,xy=1.由可z=1+i或z=-1-i.又x0,y0,z=1+i.(2)z2=(1+i)2=2i,z-z2=1+i-2i=1-i.如图所示,A(1,1),B(0,2), C(1,-1),cosABC
