1、第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义:相交 平行 重合 0 x轴(2)范围:直线的倾斜角 的取值范围是:_.0,)2.直线的斜率 条件 公式 直线的倾斜角,且 90 k=_ 直线过点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1x2 1212yykxxtan 3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条 件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1,l2,斜率分别为k1,k2平行_k1与k2都不存在垂直_k1与k2一个为零、另一个不存在k1=k2 k1k2=-1 4.直线方程的五种形式 名 称 已知条件 方 程 适用范围 点斜式 斜率k与点
2、(x1,y1)_ 不含直线x=x1 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b _ 不含垂直于x轴的直线 y-y1=k(x-x1)y=kx+b 名 称 已知条件 方 程 适用范围 两点式 两点(x1,y1),(x2,y2)_ _ 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b _ _ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 112121yyxxyyxx1212(xx,yy)xy1ab(a0,b0)名 称 已知条件 方 程 适用范围 一般式 _ _ 平面直角坐标系内的直线都适用 Ax+By+C=0(A2+B20)【特别提醒】1.过P1(x1,y1),P2
3、(x2,y2)的特殊直线方程 若x1=x2,且y1y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1;若x1x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1;若x1=x2=0,且y1y2时,直线即为y轴,方程为x=0;若x1x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.2.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).(3)定点直线系:y-y0=k(x-x0)(x0,y0)为定点,k为参数)(4)交点直线系:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(过直线A1x+
4、B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线,不含直线A2x+B2y+C2=0)【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修2P100练习T3改编)直线l:xsin30+ycos150+1=0的斜率是()【解析】选A.设直线l的斜率为k,则k=33A.B.3 C3 D33sin 303.cos 15032.(必修2P99练习T1(1)改编)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 .则直线l的方程为()A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0【解析】选A.由点斜式得y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.3434感悟考题
5、试一试 3.(2016淄博模拟)已知ab0,bc0,则直线ax+by=c通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限【解析】选B.直线ax+by=c化为 因为ab0,bc0,所以 所以直线通过第一、二、四象限.acyx.bb ac0,0,bb4.(2016济宁模拟)已知直线l1:x+2ay-1=0,与 l2:(2a-1)x-ay-1=0平行,则a的值是()A.0或1 B.1或 C.0或 D.141414【解析】选C.当a=0时,两直线的斜率都不存在,它们的方程分别是x=1,x=-1,显然两直线是平行的.当a0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率
6、相等,由 解得a=综上,a=0或 2a1a1,12a1 1,41.4考向一 直线的倾斜角与斜率【典例1】(1)(2016菏泽模拟)直线2xcos-y-3=0 的倾斜角的变化范围是()(,)6 3 A.,B.,6 34 32C.,D.,4 243 (2)若直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 .【解题导引】(1)先由直线方程求出直线的斜率,再求直线倾斜角的范围.(2)先确定直线PA,PB的斜率,再数形结合求解.【规范解答】(1)选B.直线2xcos-y-3=0的斜率 k=2cos.由于 所以 因此k=2cos1,.设直线的倾斜
7、角为,则0,tan1,.所以 即倾斜角的变化范围是 ,6 3，13cos22，33,4 3 ，,.4 3(2)如图,设PA与PB的倾斜角分别为,易求得直线 PA的斜率是k1=5,直线PB的斜率是k2=1.2当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角 由增至90,斜率的取值范围为5,+);当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90增 至,斜率的变化范围是 故斜率的取值范围是 5,+).答案:5,+)1,2 （1,2 （1,2 （【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有如下解法:设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.因为A
8、,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上,所以(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)0,即(k-5)(4k+2)0,所以k5或k 即直线l的斜率k 的取值范围是(-,-5,+).答案:(-,-5,+)1,21212【母题变式】1.本例题(2)中的条件不变,适合条件的直线的倾斜角是否有最小值与最大值?【解析】当直线l由PA位置逆时针变化到PB位置的过程中倾斜角逐渐增大,且在PA位置取得最小值,在PB位置取得最大值.2.若将本例题(2)中点P的坐标改为P(-3,2),则直线l的斜率的取值范围是什么?【解析】因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则 借助图形可知,直线l的斜率的取值
9、范围为 PAPB32021k5,k,23333 1 5,.3【规律方法】1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k=tan 的取值范围.(2)利用正切函数在0,)上的图象,确定倾斜角 的取值范围.2.倾斜角与斜率的关系 当 0,)且由0增大到 ()时,k由0增大到+.当(,)时,k也是关于 的单调函数,当 在此 区间内由 ()增大到()时,k由-趋近 于0(k0).2222223.斜率的求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函 数值,一般根据k=tan 求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般 根据斜率公式k=(x1x2)求斜率.易错提
10、醒:求倾斜角时要注意斜率是否存在.2121yyxx【变式训练】1.设点P是曲线y=上的任意一 点,P点处切线倾斜角 的取值范围是()32x3x352A.0,),)B.,)26325C.0,),)D.(,2326【解析】选C.因为y=故切线斜率k 切线倾斜角 的取值范围是 23x33,3,20,),).232.(2016临沂模拟)若直线l的斜率为k,倾斜角为,且 则k的取值范围是 .【解析】当 时,k=tan 当 时,k=tan 0).综上k 答案:2,),)6 43 ，,)6 4 3,1)3；2,)3 3，33 0),1).3，33 0),1)3，【加固训练】1.直线xsin2-ycos2=0
11、的倾斜角的大小是()【解析】选D.因为直线xsin2-ycos2=0的斜率k=tan2,所以直线的倾斜角为2.11A.B.2 C.D.222sin 2cos 22.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点,则直线l的倾斜角的取值范围为 .【解析】因为直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点,所以kAB=1-m2.又因为mR,所以kAB(-,1,其倾斜角的取值范围为 答案:2m1120,(,).420,(,)423.(2016贵阳模拟)若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 .【解析】设直线l的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),
12、在x轴上的截距为 令-3 3,解得k 答案:(-,-1)21.k21k1.21(,)2 考向二 两条直线的位置关系【典例2】(1)若直线l1:ax+2y-6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a=.(2)如图所示,直线l1的倾斜角 1=30,直线l1与l2垂直,则直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=.【解题导引】(1)由两直线的斜率相等,在y轴上的截距不等即可求解.(2)由倾斜角与斜率的关系即可求出l1的斜率,再由垂直关系即可求出l2的斜率.【规范解答】(1)直线l1:ax+2y-6=0的斜率为 在y轴 上的截距为3.又因为直线l1与直线l2平行,所以直线l2:x+(a
13、-1)y+a2-1=0的斜率存在且等于 在y轴上的截 距为-(a+1).由两直线平行得,且3-a-1,解 得a=2或a=-1.答案:2或-1 a2，1a1，a12a1(2)因为1=30,则直线l1的斜率k1=tan1=tan30=又因为直线l1与l2垂直,所以k1k2=-1,k2=答案:3.3113.k 3 33【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:由图可知,2=1+90=120,则直线l1的斜率k1=tan1=tan30=直线l2的斜率k2=tan2=tan120=答案:33，3.3 33【规律方法】由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B120
14、)l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220)l1与l2垂直 的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2平行 的充分条件 (A2B2C20)111222ABCABC直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B120)l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220)l1与l2相交 的充分条件 (A2B20)l1与l2重合 的充分条件 (A2B2C20)1122ABAB111222ABCABC【变式训练】已知ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC所在直线的方程.(2)BC边的垂直平分线DE的方程.(3)过点A与BC平行的直线的方程.【解析】(1
15、)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC所在直线的方程为 即x+2y-4=0.(2)BC边所在直线的斜率k1=则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2,由点斜式得直线DE的方程为y-2=2x,即2x-y+2=0.y 1x23 122 ，12，(3)BC边所在直线的斜率k1=则过点A与BC平行的直线的方程为y-0=(x+3),整理得:x+2y+3=0.12，12【加固训练】1.如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行,则m=()A.-1或-2 B.-1 C.-1或2 D.-2【解析】选B.因为直线与y轴平行,所以m2+3m+2=0,解得m=-1或-2.当
16、m=-1时,直线方程为x=1;当m=-2时,方程(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2不表示直线,舍去.综上知m=-1.2.已知直线l的倾斜角为135,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于()A.-4 B.-2 C.0 D.2【解析】选B.因为直线l的倾斜角为135,直线l1经过 点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,所以 =1,所以a=0,又直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,所以 =1,所以b=-2,因此a+b=-2.2 13a2b考向三 直线的方程【考情快递】命题方向命题视角求直线方程主
17、要考查给定条件求直线的方程,属容易题与直线方程有关的最值问题考查与夹角、长度、面积相关的最值问题【考题例析】命题方向1:求直线方程【典例3】(1)(2016淄博模拟)经过点(-4,0),倾斜角 的正弦值为 的直线的方程为 .(2)(2016滨州模拟)过点P(-2,3)且在两坐标轴上的 截距相等的直线l的方程为 .1010【解题导引】(1)先求出直线的斜率,再利用点斜式即可求出直线的方程.(2)对于截距相等可分为:截距都为零与截距都不为零两种情况讨论求解.【规范解答】(1)由题意知,直线的斜率存在,设倾斜角为,则sin=(0,),从而cos=则k=tan=故所求直线的方程为y=(x+4),即x3
18、y+4=0.答案:x+3y+4=0或x-3y+4=0 10103 1010，1.313(2)当截距不为0时,设所求直线方程为 即x+y-a=0.因为点P(-2,3)在直线l上,所以-2+3-a=0,所以a=1,所求直线l的方程为x+y-1=0.xy1aa，当截距为0时,设所求直线方程为y=kx,则有3=-2k,即k=此时直线l的方程为y=即3x+2y=0.综上,直线l的方程为x+y-1=0或3x+2y=0.答案:x+y-1=0或3x+2y=0 32，3 x2，命题方向2:与直线方程有关的最值问题【典例4】(2016聊城模拟)过点P(4,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点.(1)当AO
19、B面积最小时,求直线l的方程.(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.【解题导引】由于直线过定点,且与x,y轴正半轴交于两点,所以直线在两坐标轴上的截距均为正数,因此可设直线方程的截距式,进而解决问题.【规范解答】设直线l:(a0,b0),因为直线l经过点P(4,1),所以 (1)所以ab16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,所以当a=8,b=2时,AOB的面积最小,此时直线l的方程 为 即x+4y-8=0.xy1ab411.abxy1,82414 1412,aba bab(2)因为 a0,b0,所以|OA|+|OB|=a+b 当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以当|OA|+
20、|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.411,ab 41a4bab()59,abba【技法感悟】1.给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况.(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程.(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.2.与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程,用y表示x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数.(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.【题组通关】1.(2016莱芜模拟)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0 的直线方程为()A.x-2y+
21、4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0【解析】选A.由点斜式得所求直线方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.122.(2016菏泽模拟)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是()A.-2,2 B.(-,-22,+)C.-2,0)(0,2 D.(-,+)【解析】选C.令x=0,得y=令y=0,得x=-b,所以所求三 角形面积为 且b0,b21,所以 4,所以b的取值范围是-2,0)(0,2.b2，21 b1|bb2 24，2b143.(2016泰安模拟)过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截 距互为相反数的直线的方程
22、为 .【解析】(1)当直线过原点时,直线方程为y=(2)当直线不过原点时,设直线方程为 即x-y=a.代入点(-3,5),得a=-8.即直线方程为x-y+8=0.答案:y=或x-y+8=0 5 x.3xy1aa，5 x34.(2016兰州模拟)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,a=.【解析】由题意知,直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的 纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=2(2-a)+2(a2+2)=a2-a+4=当a=时,面积最小.答案:12122115(a)24，1212
