1、东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题（二）理（含解析）第卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果.【详解】故可得故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2.已知复数的实部为3，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，由其实部即可求得参数.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，实部和虚部的辨识，属基础题.3.已知双曲线：则此双曲线的焦
2、点到其渐近线的距离为( )A. 2B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的焦点的坐标和渐近线方程，根据双曲线的和渐近线的对称性，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的方程可知：，因此，所以焦点的坐标为：，渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性，不妨设直线的距离为，由点到直线的距离公式可得：.故选：B【点睛】本题考查了点到直线距离公式的应用，考查了双曲线的渐近线方程和焦点的求法，考查了数学运算能力.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算
3、方法如下：，其中，.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若，.则这五层正六边形的周长总和为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列是等差数列，最后利用等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：，因此数列是以为首项，公差为的等差数列，设数列前5项和为，因此有，所以这五层正六边形的周长总和为.故选：C【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等差数列的定义，考查了等差数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.5.已知直线和平面，有如下四个命
4、题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直，线面垂直以及线面平行的判定，即可容易判断.【详解】若，则一定有，故正确；若，则，又因为，故可得，故正确；若，故可得/，又因为，故可得，故正确；若，则或，故错误；综上所述，正确的有.故选：C【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直的判定以及线面平行的判定，属综合基础题.6.已知正方体，为底面的中心，分别为棱，的中点.则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解
5、】以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有，因此，设异面直线与所成角为，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.7.已知函数的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（ ）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.【详解】由为奇函数，得当时，.故为得到关于原点对称的图像，只要把向左平移个单位即可.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式，函数图像的平移，以及余弦型函数的奇偶性，属综合中档
6、题.8.有一项针对我国义务教育数学课程标准的研究，表1为各个学段每个内容主题所包含的条目数.下图是将下表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图.由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是( )学段内容主题第一学段（13年级）第二学段（46年级）第三学段（79年级）合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A. 除了“综合与实践”外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B. 在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占.“综合与实践”内容最
7、少，约占C. 第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D. “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【答案】D【解析】【分析】利用表格计算条目数的有关数据，从等高条形看比例变化趋势，逐个选项进行判断即可.【详解】A：根据表格可知：除了“综合与实践”外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍，故本选项说法正确；B：根据表格可知：“图形与几何”内容最多，占，“综合与实践”内容最少，约占，故本选项说法正确；C：根据表格可知：第一、
8、二学段“数与代数”内容分别是，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，数目最多，故本选项说法正确；D：“数与代数”内容条目数在每一学段的内容条目数分别为：，“数与代数”内容条目数在每一学段的百分比分别为：，因此“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少这种说法正确；“图形与几何”内容条目数在每一学段的百分比分别为：， 因此“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长这种说法是错误的.故选：D【点睛】本题考查了分析图表能力，考查了数据分析能力，考查了数学运算能力.9.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
9、析】先判断函数在上的单调性，再根据对数的运算性质、指数的运算性质、对数函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为对任意的，有，所以函数在上单调递减.因为是偶函数，所以.因为，函数在上单调递减，所以有成立，即成立.故选：D【点睛】本题考查了利用抽象函数的单调性和奇偶性判断函数值大小问题，考查了对数函数单调性的应用，考查了对数和指数的运算性质，考查了数学运算能力.10.给定两个长度为2的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示.点在以为圆心2为半径的圆弧上运动.则的最小值为( )A. B. C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】设，以为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义
10、、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可.【详解】设，因此有，因为，所以，所以当时，即，有最小值，最小值为.故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积最小值问题，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平面向量的定义和运算性质，考查了辅助角公式和余弦函数的单调性，考查了数学运算能力.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用累和法求出数列的通项公式，再分类讨论，根据数列的单调性和绝对值的性质进行求解即可.【详解】当时，于是有：，所以，显然也适合，因此数列的通项公式为：.当为奇数时
11、，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；当为偶数时，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，只需有：.故选：A【点睛】本题考查了数列累和法的应用，考查了数列的单调性，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力和分析能力.12.设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：由得， ，由即，整理得，则，得故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆的定义，属中档题.第卷二、填空题
12、：本题共4小题.13.若，满足约束条件，则的最大值是_.【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线，找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，点的坐标是方程组的解，解得，所以的最大值是.故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为_.【答案】0.976【解析】【分析】根据
13、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】设事件：三人每人投篮一次，至少一人命中，则该事件的对立事件是：三人每人投篮一次，一个人也没有命中，因此,所以.故答案为：0.976【点睛】本题考查了对立事件概率的应用，考查了数学运算能力.15.数列是等差数列，前项和为，且，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，因此.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了数学运算能力.16.在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】
14、设四棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，根据的相对位置分类讨论，结合锐角三角函数、勾股定理、球和正方形以及矩形的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.【详解】设四棱锥的外接球的球心为，其半径为，底面的中心为.当位于点处时，如下图所示：取的中点，连接，因为底面为正方形，为等边三角形，所以，而，因为，所以，设正方形的对角线的交点，过做平面，则由题意可知垂足在上，显然有，在直角三角形中，所以过过做，因此四边形是矩形，所以有，正方形中，由可知：，在直角三角形中，得，由解得：，不符合题意，舍去；当位于点处时，如上图所示：由可知：，在直角三角形中，得，由解得：，所以此四棱锥的外接球的表面积为.故答案：【点
15、睛】本题考查了四棱锥外接球问题，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.在中，角，所对的边分别为，且.（）求的值；（）若为锐角三角形，求的最小值.【答案】（）；（）9.【解析】【分析】（）根据正弦定理化简已知等式，再结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可；（）根据两角和的正切公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（）在中，由正弦定理，得，故，故，则；（）由得，由均值不等式得，当且仅当时，等号成立.解得的最小值为9
16、.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了两角和的正切公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（）根据列联表运用独立性检验思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；（）如果从全校选修生
17、涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）.参考附表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式，其中.【答案】（）有把握，理由见解析；（）分布列见解析，.【解析】【分析】（）根据题中所给的公式求出的值，然后根据参考附表进行判断即可；（）由题意可以求出在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率，成绩不优秀的概率，可以判断可取值为0，1，2，3，根据二项分布的性质进行求解即可.【详解】（）由题意知，的观测值.所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”.（）
18、由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为0，1，2，3.所以的分布列为0123，.【点睛】本题考查了的计算，考查了二项分布的性质应用，考查了离散型随机变量分布列和数学期望，考查了数学运算能力.19.四棱锥中，底面为直角梯形，为的中点，为的中点，平面底面.（）证明：平面平面；（）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；（）连结，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出
19、底面，这样可以建立以，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（）四边形是平行四边形.又，.又面面，面面，面面且面平面平面.（）连结，为中点，又平面，平面平面，平面平面，底面，又，以，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，取平面的法向量，设平面的法向量，令，.设二面角的平面角为又为钝角，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点.设动点的轨迹为曲线.（）求曲线方程；（）关于的对称
20、点为.是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）存在，.【解析】【分析】（）设，根据中点坐标公式，结合为抛物线上任意一点进行求解即可；（）设出直线的点斜式方程，与曲线的方程联立，消元，利用等腰三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（）设，是的中点，则在上，故曲线的方程为.（）由题意得，设：，将代入得（*）的中点，符合，存在（*）化为,.【点睛】本题考查了求曲线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了弦长公式，考查了等腰三角形的性质，考查了数学运算能
21、力.21.已知函数，.（）讨论函数在上的单调性；（）判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由.【答案】（）当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（）两条，理由见解析.【解析】【分析】（）对函数进行求导，然后分类讨论，根据导函数的正负性求出函数的单调区间；（）利用导数的几何意义求出与的图象的切线，将两个切线方程联立，消元得到一个方程，根据方程解的个数就能确定公切线的条数，构造新函数，利用新函数的导数，结合零点存在原理进行求解即可.【详解】（I），当时，所以函数在上单调递减；当时，由得：；由得：所以，函数上单调递减，函数在上单调递增.（）函数在点处的切线方程为，即，函数在点处
22、的切线方程为，即.若与的图象有公切线.则由得代入整理得由题意只须判断关于的方程在上解的个数令令，解得0单调递减极小值单调递增且图象在上连续不断方程在及上各有一个根即与的图象有两条公切线.【点睛】本题考查了利用导数研究研究函数的单调区间问题，考查了利用导数研究两函数图象公切线问题，考查了分类讨论思想和数学运算能力.（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修44坐标系与参数方程22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（）求曲线的参数方程与直线的普通方程；（）设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且.求面积的取值范围.【答案】（）（为参数
23、），；（）.【解析】【分析】（）先利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式，把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，然后再判断曲线的类型，写出它的参数方程；利用代入消元法把直线的参数方程化为普通方程即可.（）根据曲线的参数方程设出点的坐标，然后结合点到直线的距离公式、三角形面积公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】（）由题意：，该曲线为椭圆，曲线的参数方程为（为参数）.由直线的参数方程得代入得，直线的普通方程为.（）设到直线的距离为面积的取值范围是.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.选修45不等式选讲23.已知函数，（）当时，有，求实数的取值范围（）若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值【答案】（）（）【解析】【分析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式的解集为可求出的值，代入并用表示，再把代入利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（）由题意得：在上恒成立，在上恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，即（）令，若时，解集为，不合题意；若时，又，综上所述：，解得，当且仅当，即时等号成立，此时当，时，【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.- 26 -
