1、第三节 函数的值域与最值 基础梳理 1.函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，(1)如果存在x0A，使得对于任意xA，都有_，那么称f(x0)为y=f(x)的最大值，记为_(2)如果存在x0A，使得对于任意xA，都有_，那么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为_ 2.值域与最值的关系 若函数y=f(x)的最大值为b，最小值为a，那么y=f(x)的值域必定是集合a，b的_；若f(x)可以取到a，b中的一切值，那么其值域就是_ 基础梳理答案：1.(1)f(x)f(x0)ymax=f(x0)(2)f(x)f(x0)ymin=f(x0)2.子集 a，b 基础达标 1.(必修1P25练
2、习7(3)改编)f(x)=x+1，x(1,2的值域为_ 2.(必修1P25练习7改编)f(x)=(x-1)2-1，x2，+)的值域为_ 3.(2010重庆改编)函数 的值域是_ 4.函数 的值域为_ 5.函数 的最大值为_ 164xy 2211xyx21()1f xxx基础达标答案：1.(2,3 解析：1x2，20，016-4x16，0,4)4.-1,1)解析：x2+11，-2 0，-1y0)，则 ，当且仅当 ，即t=时等号成立，y ，原函数的值域为 12tx222(1)111211422211112222212,2ttttytttttt12tt12212,2变式1-1 求下列函数的值域(1)
3、(2)(3)解析：(1)(配方法)由3+2x-x20，得-1x3.y=4-，当x=1时，ymin=2；当x=-1或3时，ymax=4.函数的值域为2,4 2432;yxx21 2;yxx4123.yxx 1 24x (2)(换元法)令t=(t0)，则x=.当t=，即x=时，ymax=，无最小值 函数的值域为 .(3)(单调性法)f1(x)=4x-1和f2(x)=均为增函数，f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域 上单调递增 y =5，因此函数的值域为5，+)12x212t12385423x 22151,24yttt 5,43,232f 题型二 求函数的最值【例2】已知函数f(x)=，x1，+
4、)(1)当a=4时，求f(x)的最小值；(2)当a=时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值 22xxax解：(1)当a=4时，f(x)=x+2，易知f(x)在1,2上是减函数，在2，+)上是增函数，f(x)min=f(2)=6.(2)当a=时，f(x)=x+2，易知f(x)在1，+)上为增函数，f(x)min=f(1)=.7212x124x12(3)函数f(x)=x+2在(0，上是减函数，在 ，+)上是增函数 若 1，即a1时，f(x)在区间1，+)上先减后增，f(x)min=f()=2 +2；若 1，即0a1时，f(x)在区间1，+)上是增函数，f(x)min=f(1
5、)=a+3.axaaaaaa解:(1)当x0，m-(22t+1)t1,2，-(1+22t)-17，-5，m的取值范围是-5，+)题型三 函数最值的综合应用【例3】已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2，求x的值；(2)若2tf(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围 12x2212x12x22112220,22tttttm解析：(1)函数的值域为0，+)，=16a2-4(2a+6)=0，即2a2-a-3=0，a=-1或a=.变式3-1 已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(aR)(1)若函数的值域为0，+)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)=
6、2-a|a+3|的值域 32(2)对一切xR函数值均为非负，=8(2a2-a-3)0-1a ，a+30，g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 二次函数g(a)在 上单调递减，g(a)g(-1)，即 g(a)4，g(a)的值域为 .32231731,.242aa 19,4431,219432 链接高考(2010山东改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为_ 知识准备：1.知道y=3x的值域为(0，+)；2.知道y=log2x是单调递增函数，并会画出它的图象；3.会利用单调性求值域 (0，+)解析：3x0，3x+11，令u=3x+1，则u1，由y=log2u的单调性可知：y0.值域为(0，+)
