1、第二课时 直线与椭圆的综合问题 考向一 椭圆与向量的综合问题【典例1】(1)(2016济宁模拟)P为椭圆 =1上 任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则 的取值范围是()A.0,15 B.5,15 C.5,21 D.(5,21)22xy1615PE PF(2)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2F1F2,若点P是椭圆C上的动 点,则 的最大值为()22xy4312FP F A33 3915A.B.C.D.2244【解题导引】(1)利用 化简可知 通过a-c|a+c,计算即得结论.(2)由已知求出点A的坐标并设出点P的坐标,然后将 用坐标
2、表示,根据点P坐标的范围即可求出 的最大值.NFNE 2PE PFPN4，PN12FP F A12FP F A【规范解答】(1)选C.因为a-c|a+c,即3|5,所以 的范围是5,21.PE PFPNNEPNNF 222PNNEPNNEPNNEPN4，PNPNPE PF(2)选B.由椭圆方程知c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上点A满足AF2F1F2,则可设A(1,y0),代入 椭圆方程可得 ,所以y0=.43209y432设P(x1,y1),则 =(x1+1,y1),=(0,y0),所以 =y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-y1 ,的最大值为 1FP2F A1
3、2FP F A3312FP F A3 3.2【规律方法】解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)设出动点坐标,求出已知点的坐标.(2)写出与题设有关的向量.(3)利用向量的有关知识解决与椭圆、直线有关的问题.(4)将向量问题转化为实际问题.【变式训练】1.(2016枣庄州模拟)椭圆 =1的左、右焦点分别 为F1,F2,P是椭圆上任一点,则 的取值范围是 ()A.(0,4 B.(0,3 C.3,4)D.3,4 22xy4312PFPF【解析】选D.因为椭圆 =1的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),设P(2cos,sin),R.所 以 =(-1-2cos,-sin),=(1-2cos
4、,-sin),所以 22xy4331PF32PF322222(1 2cos)3sin(2cos)(2cos)4cos.2212|PF|PF|(1 2cos)3sin 因为R,cos20,1,4-cos23,4,所以 的取值范围是3,4.12PFPF【加固训练】1.已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直线y=x相交于A,B 两点.(1)若离心率为 ,求椭圆的方程.(2)当 7时,求椭圆离心率的取值范围.22AF FB【解析】(1)由已知,得c=m,=m+1,从而a2=m(m+1),b2=m.由e=,得b=c,从而m=1.故a=,b
5、=1,故所求椭圆方程为 +y2=1.2ac2222x2(2)易得A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1),从而 =(2m+1,m+1),=(1,m+1),故 =2m+1+(m+1)2=m2+4m+27,得0mb0),F1,F2分别为椭圆的 左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于 另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率.(2)若 求椭圆的方程.2222xyab2213AF2F B AF AB2，【解析】(1)若F1AB=90,则AOF2为等腰直角三 角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e=2c2.a2(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0)
6、,其中c=设B(x,y).由 得(c,-b)=2(x-c,y),解得 即 将B点坐标代入 =1,得 =1,即 =1,解得a2=3c2.又由 22ab,22AF2F B，3cx2，by2 ，3cbB().22，2222xyab22229bc44ab229c14a41AF AB=(-c,-b)得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程 为 3c3b3()222，22xy1.32考向二 直线与椭圆中的参数问题【典例2】(2014全国卷)设F1,F2分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点
7、为N.(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.2222xyab34【解题导引】(1)由斜率条件可得到a,b,c的关系式,然 后由b2=a2-c2消去b2,再“两边同除以a2”,即得到关于 离心率e的二次方程,由此解出离心率.(2)利用“MF2y轴”及“截距为2”,可得yM=4,然后求出M,N点坐标,代入椭圆方程即可求出a,b的值.2ba【规范解答】(1)因为由题知,所以 又a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的离心率为 .21 2MF3FF4，2b13,a 2c41212(2)由三角形中位
8、线知识可知,|MF2|=22,即 =4.设|F1N|=m,由题可知|MF1|=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,-c.所以M(c,4),2ba32 代入椭圆方程,得 两式相减 得:再结合 =4,及a2=b2+c2,可求得:a=7,b=2 3N(c,1)2，222222c161ab9c114ab，2225c15,4ab2ba7.【规律方法】确定直线与椭圆中有关参数的方法 1.依据题设中的条件,建立与参数有关的方程.2.解方程可求得参数的值(注意椭圆中的隐含条件a2=b2+c2).【变式训练】如图,F1,F2分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线
9、AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率.(2)已知AF1B的面积为40 ,求a,b的值.2222xyab3【解析】(1)F1AF2=60a=2ce=(2)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m,在三角形BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|F1F2|cos 120(2a-m)2=m2+a2+amm=a.AF1B的面积S=a=10,所以c=5,b=5 .c1.a23511133BA FA sin 60a(aa)40 32252 3【加固训练】1.(2016呼和浩特模拟)已知椭圆的两焦点为 F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(
10、1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.3332【解析】(1)设椭圆方程为 =1(ab0),则 c=,所以a=2,b=1,所求椭圆方程为 +y2=1.2222xyab3c3a2，2x4(2)由 消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则0,得m22)于P,Q两点.(1)求椭圆方程.(2)若FPFQ,求m的值.2222xyab3D(1)2，【解析】(1)由 =1,a2-b2=1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆方程为 =1.(2)当直线BC的斜率存在且不为0时,设B(x0,y0),则BC:y=(x-1),与椭圆E:
11、=1 联立组成方程组 2219a4b22xy4300yx122xy430022yyx1,x1xy1.43 解得 或 所以 00 xxyy，000085xx52x3yy52x，00000ABAC000003y85x3yy52xC(,)kk85x52x52xx2252x202000220000 x9(1)y3y3y94x2 x2x4x44 显然kAB=kAP,kAC=kAQ,所以kAPkAQ=设Q(m,y1),kFQ=同理kFP=kAP.所以kFPkFQ=-1,又m2,所以 所以m=4.94 11AQyym2m2 km 1m2 m 1m 1，m2m 122APAQm29 m2()kk()m 14
12、m 1 m22m 13，当BC的斜率不存在时,BC的方程为x=1.令 AC的方程为:即3x+2y-6=0,AB的方程为:即3x-2y-6=0,33C(1,),B(1,).22yx2,31 2263mQ(m,),2yx2,31 22又FQFP,所以kFQkFP=-1,解上式得m=(舍)或m=4,综上可知:m=4.FQ63m03m663m2P(m,),k,2m 12 m 1FP3m603m62k,m 12 m 12263m4 m 185考向三 直线与椭圆的位置关系【考情快递】命题方向命题视角由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质主要考查根据直线与椭圆的位置关系,求离心率或其范围由直线与椭圆的位置关系
13、研究直线及弦的问题以直线与椭圆的位置关系为载体,利用方程的思想或利用设而不求的方法确定直线方程【考题例析】命题方向1:由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质【典例3】(2015安徽高考)设椭圆E的方程为 =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 2222xyab5.10(1)求E的离心率e.(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关 于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方程.72【解题导引】(1)可先求出M点的坐标,利用直线OM的斜率,即可得出关于a,b的等式,再利用椭圆中a
14、,b,c之间的关系求离心率.(2)利用(1)的结果,椭圆中a,b,c都可利用b来表示,充分利用题设条件,得出关于b的方程,解方程即可求得b值,进而得出椭圆方程.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是 又kOM=,所以 进而得a=b,故e=21(a,b)33，510b52a10，522cab2b，2 5.5ca(2)直线AB的方程为 =1,点N的坐标为 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 则NS的 中点T的坐标为 又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,xyb5b51(b,b)22，17(x,)2，1x517(b,b)4244，从而有 b=3,所以a=3 ,故椭圆的方程为 =1.11x5b17
15、b42441b5b71 b2255xb2，522xy459命题方向2:由直线与椭圆的位置关系研究直线及弦 的问题【典例4】(2015江苏高考改编)如图,在平面直角 坐标系xOy中,已知椭圆 =1(ab0)的离心率 为 ,且右焦点F到直线l:x=的距离为3.2222xyab222ac(1)求椭圆的标准方程.(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC|=2|AB|,求直线AB的方程.【解题导引】(1)求椭圆标准方程,只需列两个独立条 件即可:一是离心率为 ,二是右焦点F到左准线l的距离为3,解方程组即得.(2)本题关键就是根据|PC|=2|AB
16、|列出关于斜率的等量关系.22【规范解答】(1)由题意,得 且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为 +y2=1.c2a22ac22x2(2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=C的坐标为 且|AB|=22222k2 1 k1 2k，2222kk(,)12k12k，221222 2 1 k1 kxx.1 2k若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直
17、线PC的方程为:则P点的坐标为 从而|PC|=2ky12k2212k(x)k12k，225k2(2)k 12k，2222 3k1 1kk 12k，因为|PC|=2|AB|,所以 解得:k=1.此时AB的方程为y=x-1或y=-x+1.222224 2 1k2 3k1 1k12kk 12k，【母题变式】1.若将条件“|PC|=2|AB|”改为“|PC|=|AB|”,结果如何?3 22【解析】由例题可知:|AB|=|PC|=又因为|PC|=|AB|,即 解上式得:k=,此时AB的方程为y=x-或y=-x+.222 2 1 k1 2k，2222 3k1 1k|k|(12k)，3 22222222 2
18、 1k2 3k1 1k3 2212kk 12k，33333333332.若将条件“|PC|=2|AB|”改为“|PC|=|AB|”,结果如何?3【解析】由例题可知:|AB|=|PC|=又因为|PC|=|AB|,即 化简上式得:3k4+1=0,显然上式不成立,因此满足条件的直线AB不存在.222 2 1 k1 2k，2222 3k1 1kk 12k，3222222 2 1k2 3k1 1k312kk 12k，【技法感悟】1.由直线与椭圆位置关系解决离心率问题的思路 由题中条件寻找a,b,c间的关系式(等式或不等式),然后借助a2=b2+c2转化为 的方程或不等式即可.ca2.直线与椭圆相交时有关
19、弦问题的处理方法 涉及问题 处理方法 弦长 根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点 点差法(结果要检验)【题组通关】1.(2016聊城模拟)椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短 弦PQ的长为10,PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率 为()3126A.B.C.D.3333【解析】选C.PQ为过F1垂直于x轴的弦,则 PF2Q的周长为36.所以4a=36,a=9.由已知 =5,即 =5.又a=9,解得c=6,解得 即e=.2bQ(c)a，2ba22acac2a3，232.(2016宝鸡模拟)已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()303A 3 2
20、B 2 3 C.D.632【解析】选C.易知该弦所在直线的斜率存在.由题意可设y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k.代入椭圆方程,得x2+2(kx+1-k)2=4.所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.由x1+x2=2,得k=-,x1x2=.所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=所以|AB|=24k k12k11213484.331 2 6301.4333.(2016枣庄模拟)如图所示,内外两个椭圆的离心 率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设 内层椭圆方程为 =1(ab0),若直线AC与BD的 斜率之积为-,则椭圆的离心率为()2
21、222xyab141233A.B.C.D.2224【解析】选C.设外层椭圆方程为 =1(ab0,m1),由题意设切线AC的方程为y=k1(x-ma),切线BD的方程为y=k2x+mb,则由 消去y,得 2222xymamb12222ykxma,bxaya b 22223224222111ba kx2ma k xm a ka b0.因为1=0,整理,得 由 消去y,得 =0,232222242221112ma k4 ba km a ka b22122b1k.am122222yk xmb,bxaya b2222222ba kx2a mbk x22222a m ba b因为2=0,整理,得 所以 因
22、为k1k2=-,所以 所以e=.2222a mbk4 222222222ba ka m ba b22222bkm1a 422124bkk.a1422222b1cea4a，222ab3a4，324.(2016临沂模拟)已知点H(0,-2),椭圆E:=1(ab0)的离心率为 ,F是椭圆E的右焦点,直线 HF的斜率为 2222xyab322 3.3(1)求椭圆E的方程.(2)点A为椭圆E的右顶点,过B(1,0)作直线l与椭圆E相交于S,T两点,直线AS,AT与直线x=3分别交于不同的两点M,N,求|MN|的取值范围.【解析】(1)设F的坐标为(c,0).由HF的斜率为 又因为 ,所以a=2,b2=a
23、2-c2=1,所以，椭圆E的方程为 +y2=1.2 322 3,c3,3c3，得所以c3a22x4(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1.不妨设 由S，A，M三点共线，得M(3,-),同理N(3,).解得|MN|=.22x1,x1,x1,x33y1,yy,422 由得或33S(1,),T(1,),2232323当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1),S(x1,y1),T(x2,y2),M(3,yM),N(3,yN).因为S，A，M三点共线，所以yM=同理yN=由 得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,11y.x222y.x222xy1,4yk x1,所以x1x2=所以|MN|=|yM-yN|22212212224k48k4 1 3k,xx,|xx|,14k14k14k得12121212k x1k x1yy|x2x2x2x2122112k x1x2k x1x2|x2(x2)由3+3,得|MN|.综上，|MN|的取值范围为 ,+).2222122121224k 1 3kk xx1 3k114k|3.4kx x2 xx4|k|k14k21k33
