1、2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，若=a+bi（a，bR），则lg（a+b）的值是（）A2B1C0D2己知集合M=x|x1，集合N=x|x22x0，则MN等于（）Ax|1x2Bx|0xlCx|0x2Dx|x23阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A64B73C512D5854已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D325某学校组织学生参加英语测试，成绩的
2、频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D606已知，且，则向量与向量的夹角是（）ABCD7“a0”是“函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+129将函数y=cosx+sinx（xR）的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）ABCD10已知，则a8等于（
3、）A5B5C90D18011设抛物线C：y2=3px（p0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）Ay2=4x或y2=8xBy2=2x或y2=8xCy2=4x或y2=16xDy2=2x或y2=16x12若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 dx=14已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y1）2的最小值是15若三棱锥PABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外
4、接球的体积是16已知数列an满足a1=1，an+1an=2n（nN*），则S2016=三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=（1）求sin2+cos2A的值；（2）若a=，求ABC面积的最大值18心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否
5、据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX附表及公式P（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=19如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为
6、PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：BE平面PAC； （2）求直线AB与平面BEF所成角的正弦值20已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x2）（k0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=exlnx+（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲
7、22已知ABC中，AB=AC，D为ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：CDF=EDF；（2）求证：ABACDF=ADFCFB选修4-4：极坐标系与参数方程23已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹（2）若直线的极坐标方程为sincos=，求直线被曲线C截得的弦长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+3|m，m0，f（x3）0的解集为（，22，+）（）求m的值；（）若xR，使得成立，求实数t的取值范围2016-2017学年甘肃省张
8、掖市高台一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，若=a+bi（a，bR），则lg（a+b）的值是（）A2B1C0D【考点】复数相等的充要条件【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数相等、对数的运算性质即可得出【解答】解：=a+bi，b=lg（a+b）=lg1=0故选：C2己知集合M=x|x1，集合N=x|x22x0，则MN等于（）Ax|1x2Bx|0xlCx|0x2Dx|x2【考点】交集及其运算【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可【解答】
9、解：由N中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即N=x|0x2，M=x|x1，MN=x|1x2，故选：A3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A64B73C512D585【考点】程序框图【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73故选B4已知等比数列an中，各项
10、都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D32【考点】等差数列的性质；等比数列的性质【分析】先根据等差中项的性质可知得2（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数q0，q=1+=3+2故选C5某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D60【考点】频率分布直方图【分析】
11、由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率总体容量，即可得到总体容量【解答】解：成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50故选：B6已知，且，则向量与向量的夹角是（）ABCD【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角【分析】由，且，知=11=0，由此能求出向量与向量的夹角【解答】解：，=0，=1=，1=0，cos=
12、，故选A7“a0”是“函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+）内单调递增当a0时，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增若a0，则函数f（x）=|（ax1）x|，其图象如图它在区间（0，+）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax1）x|在区间（0，+）内单调递增则a0a0是”函数f（x）=|（ax1
13、）x|在区间（0，+）内单调递增”的充要条件故选：C8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A28+6B30+6C56+12D60+12【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B9将函数y=cosx+sinx（xR）的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）AB
14、CD【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），图象向左平移m（m0）个单位长度得到y=2sin（x+m）+=2sin（x+m+），所得的图象关于y轴对称，m+=k+（kZ），则m的最小值为故选B10已知，则a8等于（）A5B5C90D180【考点】二项式系数的性质【分析】将1+x写成2（1x），利用二项展开式的通项公式求出通项，令1x的
15、指数为8，即可求出a8【解答】解：（1+x）10=2（1x）10，其展开式的通项为：Tr+1=（1）r210rC10r（1x）r，令r=8，得a8=4C108=180故选：D11设抛物线C：y2=3px（p0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）Ay2=4x或y2=8xBy2=2x或y2=8xCy2=4x或y2=16xDy2=2x或y2=16x【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在RtAOF中利用勾股定理算出|AF|=再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到OAF=
16、AMF，RtAMF中利用AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程【解答】解：抛物线C方程为y2=3px（p0）焦点F坐标为（，0），可得|OF|=以MF为直径的圆过点（0，2），设A（0，2），可得AFAMRtAOF中，|AF|=sinOAF=根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，OAF=AMF，可得RtAMF中，sinAMF=，|MF|=5，|AF|=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x故选：C12若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称
17、的点，则a的取值范围是（）A（）B（）C（）D（）【考点】函数的图象【分析】由题意可得ex0ln（x0+a）=0有负根，函数h（x）=exln（x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围【解答】解：由题意可得：存在x0（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0ln（x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=exln（x+a）为增函数，h（0）=e0lna0，lnaln，a，a的取值范围是（，），故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 dx=4【考点】定积分【分析】由定积分的几何意义知：
18、 dx是如图所示的阴影部分的面积，其面积是圆的面积的四分之一，问题得以解决【解答】解：由定积分的几何意义知： dx是如图所示的阴影部分的面积，故dx=S扇形=42=4故答案为：414已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y1）2的最小值是【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义以及距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到定点D（1，1）的距离的平方，由图象知，D到直线AB：xy+1=0的距离最小，此时d=，则z=d2=（）2=，故答案为：15若三棱锥PABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三
19、棱锥的外接球的体积是【考点】球的体积和表面积【分析】根据已知可得三棱锥的外接球的直径为2，进而求出球半径，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：若三棱锥PABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，将此三棱锥的外接球的直径为2，故此三棱锥的外接球的半径为1，故此三棱锥的外接球的体积V=，故答案为：16已知数列an满足a1=1，an+1an=2n（nN*），则S2016=3210083【考点】数列的求和【分析】an+1an=2n（nN*），a1=1，可得an+2an+1=2n+1，因此数列an奇数项与偶首项分别成等比数列，公比为2，首项分别分别求出【解答】解：an+1an=2n（nN*），a
20、1=1，a2=2，a3=2又an+2an+1=2n+1，数列an奇数项与偶首项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2S2016=（a1+a3+a2015）+（a2+a4+a2016）=+=3210083故答案为：3210083三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=（1）求sin2+cos2A的值；（2）若a=，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理的应用【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；（2）运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值【
21、解答】解：（1）sin2+cos2A=sin2+2cos2A1=cos2+2cos2A1=+2cos2A1=+21=；（2）cosA=，可得sinA=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc2bcbc=bc，即有bca2=，当且仅当b=c=，取得等号则ABC面积为bcsinA=即有b=c=时，ABC的面积取得最大值18心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830
22、女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX附表及公式P（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的
23、期望与方差【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）确定X的可能值有0，1，2依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为xy，由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽
24、取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，X可能取值为0，1，2，X的分布列为：X012P19如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA=90，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA（1）求证：BE平面PAC； （2）求直线AB与平面BEF所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ACPB，ACCB，从而ACBE，又BEPC，由此能证明BE平面PAC（2）以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AB与平面BEF所成角的正弦值【解
25、答】证明：（1）PB底面ABC，且AC底面ABC，ACPB，由BCA=90，得ACCB，又PBCB=B，AC平面PBC，BE平面PBC，ACBE，PB=BC，E为PC中点，BEPC，PCAC=C，BE平面PAC解：（2）如图，以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系则C（2，0，0），A（2，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），=（）设平面BEF的法向量=（x，y，z）由，取x=1，则得=（1，1，1），直线AB与平面BEF所成角的正弦值20已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2xy+6=0相切（1）求椭圆C的标准
26、方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x2）（k0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x2）和椭圆方程，得（1+3k2）x212k2x+12k26=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使为定值，定点为（，0）【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，又以原点O为
27、圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入得c=2，所以b2=a2c2=2所以椭圆C的标准方程为+=1（2）由，可得（1+3k2）x212k2x+12k26=0，=144k44（1+3k2）（12k26）0，即为6+6k20恒成立设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1m，y1）（x2m，y2）=（x1m）（x2m）+y1y2=（x1m）（x2m）+k2（x12）（x22）=（k2+1）x1x2（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）（2k2+m）
28、+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应3m212m+10=3（m26），即，此时=为定值，定点E为21已知函数f（x）=exlnx+（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）证明：f（x）1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f（1）=e，进一步求得f（1）=2，则函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程可求；（2）函数f（x）=exlnx+1的定义域为（0，+），由（1）得到函数在定义域内的最小值为1，则答案得证【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+），由题意可得f（1）=2，f（1）=e，故曲线y=f（x）在x=1
29、处的切线方程为y=e（x1）+2； （2）证明：由（1）知，f（x）=exln x+ex1，从而f（x）1等价于xln xxex设函数g（x）=xln x，则g（x）=1+ln x，所以当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而g（x）在（0，+）上的最小值为g（）=设函数h（x）=xex，则h（x）=ex（1x）所以当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而h（x）在（0，+）上的最大值为h（1）=因为gmin（x）=h（1）=hmax（x），所
30、以当x0时，g（x）h（x），即f（x）1请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22已知ABC中，AB=AC，D为ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：CDF=EDF；（2）求证：ABACDF=ADFCFB【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得ABC=CDF，AB=AC可得ABC=ACB，从而得解（II）证明BADFAB，可得AB2=ADAF，因为AB=AC，所以ABAC=ADAF，再根据割线定理即可得到结论【解答】证明：（I）A，B，C，D 四
31、点共圆，ABC=CDF 又AB=ACABC=ACB，且ADB=ACB，ADB=CDF，对顶角EDF=ADB，故EDF=CDF；（II）由（I）得ADB=ABF，BAD=FAB，BADFAB，=，AB2=ADAF，AB=AC，ABAC=ADAF，ABACDF=ADAFDF，根据割线定理DFAF=FCFB，ABACDF=ADFCFB选修4-4：极坐标系与参数方程23已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹（2）若直线的极坐标方程为sincos=，求直线被曲线C截得的弦长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲
32、线的极坐标方程【分析】（1）由sin2+cos2=1，能求出曲线C的普通方程，再由2=x2+y2，cos=x，sin=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以为半径的圆（2）先求出直线的直角坐标为xy+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线xy+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），由sin2+cos2=1，得曲线C的普通方程为（x3）2+（y1）2=10，即x2+y2=6x+2y，由2=x2+y2，cos=x，sin=y，得曲线C的极坐标方程为2=6cos+2sin，即=6cos+2sin，它是以（3，1）为
33、圆心，以为半径的圆（2）直线的极坐标方程为sincos=，sincos=1，直线的直角坐标为xy+1=0，曲线C是以（3，1）为圆心，以r=为半径的圆，圆心C（3，1）到直线xy+1=0的距离d=，直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+3|m，m0，f（x3）0的解集为（，22，+）（）求m的值；（）若xR，使得成立，求实数t的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）将不等式转化为|x|m，根据其解集情况，确定m；（2）将不等式转化为不等式，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可【解答】解：（1）因为f（x）=|x+3|m，所以f（x3）=|x|m0，m0，xm或xm，又f（x3）0的解集为（，22，+）故m=2（2）等价于不等式，设，故，xR，使得成立，则有，即2t23t+10，解得或t1即实数的取值范围2017年3月4日
