1、6 带电粒子在匀强磁场中的运动 答案：(1）匀速直线(2）匀速圆周(3）mvqB(4）2mqB (5）金属盒(6）交变电源(7）qU(8）qvB(9）比荷(10）质量(11）磁感应强度(12）同位素 1带电粒子在匀强磁场中的运动(1）带电粒子速度为零 v00，f 洛0，处于静止状态。(2）带电粒子的运动方向与磁场方向平行 带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动。(3）带电粒子的运动方向与磁场方向垂直 洛伦兹力使带 电粒子做匀速圆周运动 运动性质：洛伦兹力不改变速度大小，但是不停地改变速度方向，因此粒子在垂直于磁场方向的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供
2、匀速圆周运动的向心力，如图所示。半径公式：粒子做匀速圆周运动所需的向心力是由粒子所受的洛伦兹力提供的，所以根据牛顿第二定律有 qvBmv2r，得 rmvqB。周期公式：将半径 r 代入公式 T2rv 中，得到周期公式 T2mqB。谈重点 (1）在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，它的轨道半径跟粒子的运动速率成正比。(2）带电粒子在匀强磁场中的转动周期 T 与带电粒子的质量和电荷量有关，与磁场的磁感应强度有关，而与轨道半径和运动速率无关。(3）动能公式 Ek12mv2(Bqr)22m。(4）带电粒子的运动方向与磁场方向成 角 把带电粒子的速度分解为垂直于 B 的分量 v1和平行于 B 的分量
3、v2，因为 v1和 B 垂直，受到洛伦兹力为 qv1B，此力使粒子 q 在垂直于 B 的平面内做匀速圆周运动，v2和 B 平行，不受洛伦兹力，故粒子在沿 B 方向上做匀速曲线运动，可见粒子的运动是一等距螺旋运动。带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动形式有什么不同呢？带电粒子在匀强电场中可能做变速直线运动，也可能做变速曲线运动，但不可能做匀速直线运动；在匀强磁场中，带电粒子可以做匀速直线运动，也可以做变速曲线运动，但不可能做变速直线运动。【例 1】一带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场。粒子的一段运动径迹如图所示，径迹上的每小段都可近似看成圆弧。由于带电粒子使沿途空气电离，粒子的能量逐渐减
4、小(带电荷量不变），从图示情况可以确定(）A粒子从 a 到 b 运动，带正电 B粒子从 a 到 b 运动，带负电 C粒子从 b 到 a 运动，带正电 D粒子从 b 到 a 运动，带负电 解析：垂直于磁场方向射入匀强磁场的带电粒子受洛伦兹力作用，使粒子做匀速圆周运动，半径 rmvqB。由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量减小，磁感应强度 B 与带电荷量不变，又据 Ek12mv2知，v 在减小，故 r 减小，可判定粒子从 b 向 a 运动；另据左手定则，可判定粒子带正电。答案：C 2质谱仪(1）结构：质谱仪由静电加速电极、速度选择器、偏转磁场、显示屏等组成。(如图）(2）原理：粒子源及加速电场
5、：使带电粒子获得速度 v 进入速度选择器，v2qUm。速度选择器：只有做匀速直线运动的粒子才能通过，即 qEqvB1,所以 vEB1。偏转磁场及成像显示装置：粒子源产生的粒子在进入加速电场时的速度很小，可以认为等于零，则加速后有 qU12mv2，所以 v2qUm。在偏转磁场中，有 qvB2mv2r，故轨道半径 rmvB2q mqB22qUm 2mUqB22 所以粒子质量 mqB22r22U。若粒子电荷量 q 也未知，通过质谱仪可求出该粒子的比荷qm 2UB22r2。(3）质谱仪的应用 质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的，他用质谱仪首先发现了氖 20 和氖 22 的质谱线，证实了同位素的存在
6、。后来经过多次改进，质谱仪已经成了一种十分精密的测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。【例 2】质谱仪原理如图所示，a 为粒子加速器，电压为 U1；b 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为 B1，板间距离为 d；c 为偏转分离器，磁感应强度为 B2。今有一质量为 m、电荷量为 e 的正电子(不计重力），经加速后，该粒子恰能竖直通过速度选择器，粒子进入分离器后做半径为 R 的匀速圆周运动。求：(1）粒子的速度 v 为多少？(2）速度选择器的电压 U2为多少？(3）粒子在磁场 B2中做匀速圆周运动的半径 R 为多大？解析：(1）在 a 中，电子被加速，由动能定理有 eU112mv2，得
7、v2eU1m；(2）在 b 中，电子所受电场力和洛伦兹力的大小相等，即U2deevB1，代入 v 值得 U2B1d2eU1m；(3）在 c 中，电子受洛伦兹力作用而做圆周运动，旋转半径 RmveB2，代入 v 值得 R1B22U1me。答案：(1）2eU1m (2）B1d2eU1m (3）1B22U1me 3回旋加速器(1）直线加速器(多级加速器）如图所示，电荷量为 q 的粒子经过 n 级加速后，根据动能定理获得的动能可以达到 Ekq(U1U2U3Un）。这种多级加速器通常叫做“直线加速器”。(2）回旋加速器 基本用途：利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的偏转作用，在较小的范围内来获得高
8、能粒子的装置。回旋加速器的核心 回旋加速器的核心部分是两个 D 形的金属扁盒，这两个 D 形盒就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒切成两半，两个 D 形金属盒之间留一个窄缝，在中心附近放有粒子源。D 形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于 D 形盒的底面，把两个 D 形盒分别接在高频电源的两极上。工作原理 如图所示，放在 A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率 v0垂直进入匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期，当它沿着半圆弧 A0A1到达 A1时，在 A1A1处加一个向上的电场，使这个带电粒子在 A1A1处受到一次电场的加速，速率由 v0 增加到
9、v1，然后粒子以速率 v1在磁场中做匀速圆周运动。我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着半径增大了的圆周运动，又经过半个周期，当它沿着半圆弧 A1A2到达 A2时，在 A2A2 处加一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2，如此继续下去，每当粒子运动到 A1A1、A3A3等处时都使它受到向上电场的加速，每当粒子运动到 A2A2、A4A4 等处时都使它受到向下电场的加速，粒子将沿着图示的A0A1A1A2A2回旋下去，速率将一步一步地增大。(3）回旋加速器中各部分的作用 磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，且
10、粒子每次进入 D 形金属盒都运动相等的时间(半个周期）后平行电场方向进入电场中被加速。电场的作用：回旋加速器的两个 D 形金属盒之间的窄缝区域存在周期性变化的、并垂直于两 D 形金属盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。交变电压：为了保证带电粒子每次经过窄缝时都被加速，使之能量不断提高，需在窄缝两侧加上跟带电粒子在 D 形盒中运动周期相同的交变电压，周期 T2mBq。D 形金属扁盒的主要作用是静电屏蔽，使得盒内空间的电场极弱，这样就可以使运动的粒子只受洛伦兹力的作用做匀速圆周运动。在加速区域中也有磁场，但由于加速区间距离很小，磁场对带电粒子的加速过程的影响很小，因此，可以忽略磁场的
11、作用。(4）带电粒子的最终能量 由于 D 形金属盒的大小一定，所以不管粒子的大小及带电荷量如何，粒子最终从加速器内射出时应具有相同的旋转半径。由牛顿第二定律得 qvnBmv2nrn 粒子可能获得的最大动能 Ekn12mv2nq2B2r2n2m。可见，粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关，直径越大，粒子获得的能量就越大，由于受 D 形盒半径 R 的限制，带电粒子在这种加速器中获得的能量也是有限的。【例 3】回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个 D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两 D 形金属盒处于垂直于盒底
12、的匀强磁场中，如图所示。设 D 形盒半径为 R。若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为 B，高频交流电频率为 f。则下列说法正确的是(）A质子被加速后的最大速度不可能超过 2fR B质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关 C只要 R 足够大，质子的速度可以被加速到任意值 D不改变 B 和 f，该回旋加速器也能用于加速 粒子 解析：由 RmvqB和 T1f2mqB 解得质子被加速后达到的最大速度 vmax2fR，与加速电场的电压无关，A、B 正确；当粒子的速度接近光速时，根据狭义相对论，粒子的质量将发生变化，从而引起回旋周期变化，破坏了加速器的工作原理，故质子不能被加速到任意值
13、，C 错误；由 f1T qB2m知回旋加速器不能加速不同比荷的粒子，故该回旋加速器不能用于加速 粒子，D 错误。答案：AB 4“磁偏转”与“电偏转”的区别 所谓“电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别。磁偏转 电偏转 受力特征及运动规律 若 vB，则洛伦兹力 FBqvB，使粒子做匀速圆周运动，v 的方向变化，又导致 FB的方向变化，其运动规律可由 rmvqB和 T2mqB 进行描述 FE为恒力，粒子做匀变速曲线运动类平抛运动，其运动规律可由 vxv0，xv0t，vyqEm t，y12qEm t2进
14、行描述 偏转 情况 粒子的运动方向能够偏转的角度不受限制，btvrtqBm t，且相等时间内偏转的角度相等 粒子运动方向所能偏转的角度 E/2，且相等时间内偏转的角度不同 动能的变化 由于 FB始终不做功，所以其动能保持不变 由于 FE与粒子速度的夹角越来越小，所以其动能不断增大，并且增大得越来越快【例 41】如图所示，带电粒子在没有电场和磁场空间以 v0从坐标原点 O 沿 x 轴方向做匀速直线运动，若空间只存在垂直于 xOy 平面的匀强磁场时，粒子通过 P 点时的动能为Ek；当空间只存在平行于 y 轴的匀强电场时，则粒子通过 P 点时的动能为(）AEk B2Ek C4Ek D5Ek 解析：只
15、有电场时，粒子做类平抛运动，vtqEt2/2m，则运动时间 t2mv/qE，故电场力做功 WqEvt2mv24Ek，因此粒子通过 P 点时的动能为 EkEk0W5Ek，选项 D 正确。答案：D【例 42】如图所示，某一真空区域内充满匀强电场和匀强磁场，此区域的宽度 d=8 cm，电场强度为 E，方向竖直向下，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，一电子以一定的速度沿水平方向射入此区域。若电场与磁场共存，电子穿越此区域时恰好不发生偏转；若射入时撤去磁场，电子穿越电场区域时，沿电场方向偏移量 y=3.2 cm；若射入时撤去电场，电子穿越磁场区域时也发生了偏转。不计重力作用，求：(1）电子射入时的初速
16、度的表达式；(注：表达式不必代入具体数值，只保留字母符号）(2）电子比荷的表达式；(3）画出电子穿越磁场区域时(撤去电场时）的轨迹并标出射出磁场时的偏转角；(4）电子穿越磁场区域后(撤去电场时）的偏转角。(sin 370.6，cos 370.8）解析：(1）电子在复合场中不发生偏转，所受电场力和洛伦兹力平衡：qEqvB，得初速度的表达式 vEB。(2）电子垂直进入匀强电场，向上做类平抛运动 有 dvt，y12at2，加速度 aqEm，可解得电子比荷qm2EyB2d2。(3）电子穿越磁场区域时的轨迹如图所示。(4）电子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，qvB=m2vr代入比荷
17、的表达式得 r=mvqB=22dy=10 cm=0.1 m 由几何知识得 sin dr0.8 所以偏转角 53。答案：(1）vEB(2）qm2EyB2d2(3）见解析图(4）53 5带电粒子在匀强磁场中运动的解题方法 圆心位在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有两种方法：置的确定(1）如图甲所示，图中 P 为入射点，M 为出射点，已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心 O 甲(2）如图乙所示，图中 P 为入射点，M 为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作它的中垂
18、线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心 O 乙 半径的计算 一般利用几何知识解直角三角形 运动时间的确定 如图丙所示，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从 A 点运动到 B 点，粒子速度偏向角(）等于圆心角(回旋角）并等于 AB 弦与切线的夹角(弦切角）的2 倍。即 2t 丙 利用圆心角(回旋角）与弦切角 的关系，或者利用四边形内角和等于 360计算出圆心角 的大小，由公式 t 360T 可求出粒子在磁场中的运动时间 圆周 运动 中的 有关 对称规律 【例 51】如图所示，在真空中半径为 r3.0102 m 的圆形区域内，有磁感应强度B0.2 T、方向如图所示
19、的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度 v01.0106 m/s 从直径ab 的一端 a 向着各个方向射入磁场，且初速度方向都与磁场方向垂直，该批粒子的比荷qm1.0108 C/kg，不计粒子重力。求：(1）粒子在磁场中运动的最长时间；(2）若射入磁场的速度改为 v03.0105 m/s，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域。(sin 370.6，cos 370.8）解析：(1）由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径。因 qv0B=20mvR，R=0mvqB=5.0102 mr，所以要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长应最长，从图中可以看出
20、，以直径 ab 为弦、R 为半径所作的圆弧对应粒子运动的最长时间。因2mTqB，故运动时间 tm=22 T=2 mqB。又 sin=35rR，故tm6.4108 s。(2）R=0mvqB=1.5102 m，故粒子在磁场中可能出现的区域如图所示(以 aO 为直径的半圆加上以 a 为圆心、aO 为半径所作的圆与磁场相交的部分）。答案：(1）6.4108 s(2）如图所示 点评：处理带电粒子在磁场中的运动问题通常要按以下三步进行：(1）画轨迹：即确定圆心，通过几何方法求半径并画出轨迹；(2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动的时间与周期相联系；(3）
21、用规律：运用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。【例 52】(贵阳模拟）如图，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于 xOy 所在的纸面向外。某时刻在 xl0、y0 处，一质子沿 y 轴的负方向进入磁场；同一时刻，在 xl0、y0 处，一个 粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直。不考虑质子与 粒子的相互作用，设质子的质量为 m，电荷量为 e。则：(1）如果质子经过坐标原点 O，它的速度为多大？(2）如果 粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，粒子的速度应为何值？方向如何？解析：(1）质子的运动轨迹如图甲所示，其圆心在 xl0/2 处，其半径 r1l0/2。又 r1m
22、v1/eB，可得 v1eBl0/2m。甲 乙 粒子的周期为 T4m/eB，可得 tT/4 两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得 r 22 l0，又 2evBmv2r，解得 v 2eBl0/4m，方向与 x 轴正方向的夹角为/4。答案：(1）eBl0/2m(2）2eBl0/4m，方向与 x 轴正方向的夹角为/4。6带电粒子在复合场中的运动(1）复合场是指电场、磁场、重力场中三者或其中任意两者共存的场。在复合场中运动的电荷有时可不计重力，如电子、质子、粒子等微观粒子，也有重力不能忽略的宏观带电体，如小球、液滴、微粒等。(2）虽然电荷在复合场中的运动情况一般较为复杂，但是它作为一个力学问题，同样遵
23、循联系力和运动的各条基本规律。在分析和解决具体问题时，要从力的观点(牛顿定律）、动量的观点、能量的观点入手，认真做好以下三点：第一，正确分析受力情况；第二，充分理解和掌握不同场对电荷作用的特点和差异；第三，认真分析运动的详细过程，充分发掘题目中的隐含条件，建立清晰的物理情景最终把物理模型转化为数学表达式。(3）电荷在复合场中的运动一般有两种情况直线运动和圆周运动。电荷在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时，一定是做匀速直线运动。电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现。(4）根据带电粒子在复合场中的运动情况，正确地进行受力分析，并灵活运用几
24、何知识求出运动半径，确定圆心及运动对应的圆心角，是解决带电粒子在复合场中运动问题的关键。(5）对于叠加场中的力学问题，可以根据力的独立作用原理分别研究每一种场力对物体的作用效果；也可以同时研究几种场力共同作用的效果，将叠加场等效为一个简单场，然后与重力场中的力学问题进行类比，利用力学的规律和方法进行分析与解答。【例 6】如图所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内，在水平的 x 轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为 B，方向垂直 xOy 平面向里，电场线平行于 y 轴。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的小球，从 y 轴上的 A 点水平向右抛出，经 x 轴上的 M 点进入电场和磁
25、场，恰能做匀速圆周运动，从 x 轴上的 N 点第一次离开电场和磁场，MN 之间的距离为 L，小球过 M 点时的速度方向与 x 轴正方向的夹角为。不计空气阻力，重力加速度为 g，求：(1）电场强度 E 的大小和方向。(2）小球从 A 点抛出时初速度 v0的大小。(3）A 点到 x 轴的高度 h。解析：(1）小球在 x 轴下方的复合场中恰能做匀速圆周运动，静电力与重力平衡，Eqmg，得 Emgq，因小球带正电，故 E 的方向竖直向上。(2）小球的运动轨迹如图所示，设圆的半径为 R，则由几何关系知 RL2sin，设小球做圆周运动的速率为 v，有 qvBmv2R，得 vqBRm qBL2msin，故小球抛出的初速度 v0vcos qBL2mtan。(3）小球经 M 点时的竖直分速度 vyvsin，在 x 轴上方小球做平抛运动，故有 vygt，h12gt2，由上式综合解得 hq2B2L28m2g。答案：(1）mgq 竖直向上(2）qBL2mtan (3）q2B2L28m2g
