1、第一章 集合与函数概念 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义【自主预习】主题1：元素与集合的含义及集合相等 观察下列实例，回答下面的问题：某集团的所有员工；不等式组 的整数解；一元二次方程x2-3x+2=0的实数根.x21x2 ，(1)上述实例中的研究对象各是什么？这些研究对象都是确定的吗？提示：它们的研究对象分别是员工、整数解、实数根.这些实例中的研究对象都是确定的.(2)若把实例中的研究对象称为元素，每个实例中元素的总体分别称为一个集合，那么实例表示的集合有什么关系？提示：实例中的元素分别只有1和2，是一样的，称这两个集合相等.通过以上分析概括你对集合的认识：
2、含义：_称为元素；_ _叫做集合.特性：对于给定的集合，它的元素是_的并且是_ _的.我们把研究对象 一些元素组成的总 体 确定 互 不相同 符号表示：元素：用_表示；集合：用_ _表示.a，b，c A，B，C 主题2：元素与集合的关系及常用数集 1.结合教材P3中间阴影部分内容，完成下面填空：提示：常用的数集及其记法 常用的 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 符号 _ _ _ _ _ N N*或N+Z Q R 2.如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(6)班的一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系？如何表示？用
3、文字语言描述：_是集合A的元素;_不是集合A的元素.用符号语言描述：_.a b aA；bA 元素与集合的关系：(1)属于：如果a是集合A中的元素，就说_,记作_.(2)不属于：如果a不是集合A中的 元素，就说_,记作_ a属于集合A aA a不属于集合A aA【深度思考】结合教材P2倒数第三行至P3第二行文字思考：你认为 判断一组对象是否组成集合的标准是什么？一、确定性：_ _.二、互异性：_.判断一组对象能否组成集合，关键看该组 对象是否满足确定性 集合中的元素是互不相同的【预习小测】1.方程x2=1的解组成的集合为A，则下列各式正确的 是()A.0A B.1A C.-1A D.1=A【解析
4、】选C.由x2=1，得x=1，所以集合A中含有元素-1，1.由元素与集合的关系可知-1A.2.方程x2-4x+4=0的解集中含有 个元素.【解析】由x2-4x+4=0，得x1=x2=2，故解集中含有一个元素2.答案：1 3.若集合A中有三个元素x，x+1，1，集合B中也有三个 元素x，x+x2，x2，且集合A等于集合B，求实数x的值.【解析】因为集合A等于集合B，所以 解得x=1，经检验x=1不 适合集合元素的互异性，而x=-1适合，所以x=-1.2222x 1x,x 1xx,1xx1x,或【备选训练】1.下列各条件中能组成集合的是()A.世界著名科学家 B.在数轴上与原点非常近的点 C.所有
5、的直角三角形 D.全班成绩好的同学【解析】选C.A，B，D中的元素都不确定，故都组不成集合，只有C中的元素“直角三角形”是确定的，能组成集合.2.下列所给关系正确的个数是()R；Q；0N*；|-4|N*A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.R显然正确；是无理数，而Q 是有理数集，所以 Q正确；N*表示正整数集，所以0 N*，故错误；|-4|=4N*，故错误.3333.若集合A中含有两个元素a-3，2a-1，且-3A，则实数a的值为 .【解析】若a-3=-3，则a=0，此时集合A中含有元素-3，-1满足题意.若2a-1=-3，则a=-1，此时集合A中的两个元素为-4，-3，满足题意.综上可
6、知：a=0或-1.答案：0或-1【互动探究】1.某中学高一(1)班“所有聪明的同学”能否组成一个集合？为什么？提示：不能组成一个集合，因为“聪明”这个标准不明确，而集合中的元素必须是确定的，即给定一个集合，任何元素是不是这个集合中的元素是确定的.2.由元素1，1，2能否组成一个集合？为什么？提示：不能.因为集合中的元素是不能重复的，即集合中的元素具有互异性.3.如何判断一个元素是否是一个集合的元素？提示：要判断一个元素是否是一个集合的元素，只需看这个元素是否具有这个集合中元素的特性.【探究总结】知识归纳：方法总结：判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.(
7、2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.【题型探究】类型一：元素与集合的关系【典例1】(1)设不等式2x30的解集为M，下列表示正确的是()A.0M，2M B.0M，2M C.0M，2M D.0M，2M (2)若集合A是由所有形如3a+b(aZ，bZ)的数组 成的，判断-6+2 是不是集合A中的元素？22【解题指南】(1)先求出不等式的解集M，再判断0，2是否为集合M中的元素.(2)认清集合A中元素的结构特征，然后再注意a，b能否取到整数.【解析】(1)选B.由2x-30，得x ，又0 ，故0M，2M，故选B.(2)是，因为在3a+b(aZ，bZ)中，令a=-2，b=2，可得
8、-6+2 ，所以-6+2 是集合A中的元素.323232222【规律总结】判断元素与集合关系的两个步骤(1)确定集合中元素的特征及范围.(2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在限定的范围内.【巩固训练】集合A是由形如m+n(其中m，nZ)的 数组成的，判断 是不是集合A中的元素.【解题指南】先对 分母有理化，然后判断化简后 的式子是否具有m+n(m，nZ)的特征.31231233【解析】是.因为2，1Z，所以2+A，即 A，所以 是集合A中的元素.1232323.4 3232323 2323 1,3123123类型二：集合中元素特性的应用【典例2】已知集合A中含有两个元素a和a2
9、，若1A，求实数a的值.【解题指南】根据1A，可得a=1或a2=1，再根据集合中元素的互异性进行检验.【解析】因为1A，所以a=1或a2=1，即a=1，当a=1时，a=a2，集合A中有一个元素，所以a1；当a=-1时，集合A中含有两个元素1，-1，符合互异性，所以a=-1.【延伸探究】1.(变换条件)本例若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？【解析】由题意a和a2组成两个元素的集合，则aa2，解得a0且a1.2.(变换条件)本例若将条件“1A”改为“2A”，其他条件不变，求实数a的值.【解析】因为2A，所以a=2或a2=2，即a=2或a=.当a=2时，a2=4，满足条件；当a=-时，a2=2满足条 件；当a=时，a2=2满足条件，所以a=2或a=.2222【规律总结】根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的三个步骤【巩固训练】已知集合A中含有1，0，x这三个元素.(1)求实数x的取值范围.(2)若x2A，求实数x的值.【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x1，x0.(2)若x2=0，则x=0，此时三个元素为1，0，0，不符合集合中元素的互异性，舍去.若x2=1，则x=1.当x=1时，集合中元素为1，0，1，舍去；当x=-1时，集合中元素为1，0，-1，符合.若x2=x，则x=0或x=1，不符合元素的互异性，所以x=-1.
