1、活页作业(十五)离散型随机变量的方差1在某电视台举办的“麦霸”歌手大奖赛上，五位歌手的分数如下：9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，则五位歌手得分的期望与方差分别为()A9.4,0.484B9.4,0.016C9.5,0.04D9.5,0.016解析：五位歌手得分的期望(9.49.49.69.49.7)9.5.五位歌手得分的方差(9.49.5)2(9.49.5)2(9.69.5)2(9.49.5)2(9.79.5)20.016.答案：D2设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量X则X的方差D(X)()AmB2m(1m)C1mDm(1m)解析：因为由题意知一随机试验的结果只有A和
2、，且P(A)m，随机变量X 所以X服从两点分布，所以D(X)m(1m)答案：D3已知随机变量的分布列如表，则随机变量的方差D()的最大值为()012Py0.4xA0.72B0.6C0.24D0.48解析：由题意知y0.6x，因为E()0.42x，所以E( 2)0.44x，D()E( 2)(E()20.44x(0.42x)24x22.4x0.24，当x0.3时，D()max0.6.答案：B4有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1，2，已知E(1)E(2)，D(1)D(2)，则自动包装机_的质量较好解析：因为E(1)E(2)，所以甲、乙两机包装的重量的平均水平一样D(1)D(2)说明甲机
3、包装重量的差别大，不稳定所以乙机质量好答案：乙5从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)3，则D(X)_.解析：由题意知，XB，所以E(X)53，解得m2，所以XB，所以D(X)5.答案：6根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300、700、900的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不
4、超过6天的概率解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300
5、)0.90.30.6.由条件概率，得P(Y6|X300)P(X900|X300).故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.7(2015高考安徽卷)若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为()A8B15C16D32解析：样本数据x1，x2，x3，x10，其标准差8，则D(X)64.而样本数据2x11,2x21，2x101的方差D(2x1)22，D(X)2264，其标准差为16.答案：C8设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为，则下列结论正确的是()AE()0.1BD()0.1CP(k)0.01k0.9
6、910kDP(k)C0.99k0.0110k解析：由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.01，故本题符合独立重复试验，即B(10,0.01)，所以E()100.010.1.答案：A9(2017浙江卷)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0p1p2，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)解析：由题意可知i(i1,2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)又0p1p2，E(1)E(2)把方
7、差看作函数yx(1x)，根据012知，D(1)D(2)答案：A10某班从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选设所选3人中女生人数为，则随机变量的方差D()_.解析：的所有可能取值为0,1,2，所以依题意得：P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012P所以E()012.D()222.答案：11为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了26个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了100名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格，平均每天上网时间超过了2个小时可视为“网瘾”患者.时间(单位：小时)0,1(
8、1,2(2,3(3,4(4,5(5,6(6,12人数5223105442(1)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选3名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；(2)以该100名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选4名青少年，记X为“网瘾”患者的人数，求X的分布列和数学期望解：(1)由题意得，该100名青少年中有25个是“网瘾”患者设Ai(0i3)表示“所挑选的3名青少年有i个青少年是网瘾患者”，“至少有一人是网瘾患者”记为事件A，则P(A)P(A1)P(A2)P(A3)1P(A0)13.(2)X的可能取值为0、1、2、3、4，P(X0)4，P(X1)C
9、3，P(X2)C22，P(X3)C3 ，P(X4)C4.X的分布列为X01234P则E(X)012341.12计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40
10、X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p1P(40X120)0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此
11、时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台
