1、曲线与方程1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.方程y与xy2表示同一曲线吗？提示不是同一曲线.2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.1（2019北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线
2、，曲线就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不超过；曲线所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是ABCD【答案】C【解析】将换成方程不变，所以图形关于轴对称，当时，代入得，即曲线经过，；当时，方程变为，所以，解得，所以只能取整数1，当时，解得或，即曲线经过，根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故正确当时，由得，（当时取等），即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过；故正确在轴上图形面积大于矩形面积，轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因
3、此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故错误故选2（2020山东）已知曲线A若，则是椭圆，其焦点在轴上B若，则是圆，其半径为C若，则是双曲线，其渐近线方程为D若，则是两条直线【答案】ACD【解析】若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；若，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，若，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，故正确；当，时，则方程为表示两条直线，故正确；故选3（2018上海）已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为_【答案】【解析】平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，满足椭圆的
4、定义，可得，则，动点的轨迹方程为：故答案为：1（2020静安区二模）方程的曲线所满足的性质为不经过第二、四象限；关于轴对称；关于原点对称；关于直线对称ABCD【答案】A【解析】由题意，化为：，说明，同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限；正确换，方程发生改变，所以图形不关于轴对称，所以不正确；以代替，以代替，方程不变，所以正确；方程，互换，方程化为：，方程已经改变；所以不正确；故选2（2020宁德模拟）方程：的曲线有下列说法：该曲线关于对称；该曲线关于点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数其中正确的是ABCD【答案】D【解析】将方程整理可得，令将换成时，即，所
5、以，所以曲线关于对称，所以正确，不正确；当时，所以该曲线不经过第三象限，故正确，曲线过的整数点，三个整数点，故不正确，故选3（2020吴兴区校级模拟）已知且，则的取值范围为A，B，CD【答案】A【解析】令，则，由，得，即，则，即，解得或的取值范围为，故选4（2020麒麟区校级二模）已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为A6BC3D【答案】C【解析】依题意，直线的方程为，曲线表示单位圆的下半部分，要使面积的最小，则需点到直线的距离最小，不妨设，点到直线的距离为，故选5（2019西城区一模）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为AB3CD4【答
6、案】B【解析】曲线围成的平面区域，关于，轴对称，设曲线上的点，可得所以曲线围成的平面区域的直径为：3故选6（2019闵行区校级模拟）方程所表示的曲线的长度是ABCD【答案】B【解析】方程，可得，即有或，即有，作出方程所表示的曲线，可得曲线为两个半圆，半径均为，可得表示曲线的长度为故选7（2019西湖区校级模拟）方程表示的曲线是A一个圆和一条射线B一个圆和一条直线C一个圆D一条直线【答案】B【解析】方程等价于或，在直角坐标系中，方程图象为一条直线，配方得，方程表示以为圆心，以1为半径的圆，故表示一条直线和一个圆，故选8（2019西湖区校级模拟）方程所表示的曲线是A一个点B一条直线C两条直线D抛物
7、线【答案】C【解析】，即或方程所表示的曲线是两条直线故选9（2019黄浦区一模）如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是AB CD 【答案】C【解析】如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；选项等价于，或，表示折线的全部，故错误；选项等价于或，表示折线在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，表示双曲线，符合题中图象，故正确；选项等价于或，表示表示折线在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，表示双曲线在轴下方的一部分，故错误故选10（2020河南模拟）曲线与曲线交于、两点，为原点，（1）求；（2）曲线上一点的纵坐标为2，过点作直线、，、的斜率分别
8、为、，、分别交曲线于异于的不同点，证明：直线恒过定点【解析】（1）由对称性可知：、关于轴对称，可设，则，把代入曲线得：；（2）证明：由（1）得曲线的方程为，即有，设，则，同理，若直线斜率为0，直线的方程设为，代入曲线，仅有一解，不合题意，舍去；当存在时，设直线的方程设为，把代入整理得：，且，得，代入式，得：，故直线的方程为，可得直线恒过定点11（2020长春三模）已知点，点在轴负半轴上，以为边做菱形，且菱形对角线的交点在轴上，设点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）过点，其中，作曲线的切线，设切点为，求面积的取值范围【解析】（）设，菱形的中心在轴上，设为点由题意可知，则，又为的中点，因此点即点的
9、轨迹为为参数且，化为标准方程（）设点，过点的切线方程为：，点在该切线方程上，即，由，可得，即，可知当时，为关于的增函数，因此的取值范围是12（2020邵阳一模）半圆的直径两端点为，点在半圆及直径上运动，若将点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点，记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线的“直径”【解析】（1）设，则，由题意可得当在直径上运动时，显然；当在半圆上时，所以曲线的方程为或；（2）设曲线上两动点，显然，至少有一点在椭圆上时才能取得最大，不妨设，则，等号成立时，或，由两点的距离公式可得，故曲线的“直径”为13（2020
10、临汾模拟）已知圆，为上任意一点，的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值【解析】因为在的中垂线上，所以，而，所以，由椭圆的定义可得的轨迹为焦点在轴上，长轴长为4，焦点坐标为：，的椭圆，即，所以，所以曲线的方程：；（2）由题意可知直线的斜率存在，设的方程为：，设，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，整理可得：，代入可得，因为直线过点，所以，所以，即证了直线的斜率与直线的斜率之和为定值14（2020深圳模拟）在平面直角坐标系中，过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径，设点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点的
11、任意直线与曲线交于点，为的中点，过点作轴的平行线交曲线于点，关于点的对称点为，除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由【解析】（1）如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于，设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为，在梯形中，由中位线性质可得，所以，又，所以，由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为：；（2）由可得在求出上，当直线的斜率存在时，设，则，的中点，即，在方程中，令，得，所以，设，由中点坐标公式可得，又，代入化简，所以，直线的斜率为：，所以直线的方程为：，将代入化简可得：，将代入式整理可得，所以直线与抛物线相切，所以除点外，直线与没有其他的公共点当直线的斜率不存在时，直线的方程为：代入抛物线的方程可得，所以除点外，直线与没有其他的公共点综上所述，除点外直线与没有其他的公共点15（2020番禺区模拟）已知长度为4的线段的两个端点，分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）设不经过点 的直线与曲线相交于两点，若直线与的斜率之和为1，求实数的值【解析】（1）设，即，曲线的方程为：；（）设，由，消去得，由，可得，又直线不经过点，且直线与的斜率存在，又，解得，故的值为3
