1、第2讲推理与证明、复数【选题明细表】知识点、方法题号合情推理4、6、7、9直接证明和间接证明3、10、12数学归纳法11复数1、2、5、8一、选择题1.(2013河南开封高三一模)i是虚数单位,复数等于(D)(A)-1-i(B)1-i(C)-1+i(D)1+i解析:复数=i-i2=1+i.故选D.2.(2014台州一模)复数z=(1-2i)2(i是虚数单位)对应的点在(C)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:z=(1-2i)2=-3-4i,故复数z对应的点在第三象限,故选C.3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是(B)(A)假设
2、三内角都不大于60度(B)假设三内角都大于60度(C)假设三内角至多有一个大于60度(D)假设三内角至多有两个大于60度解析:“至少有一个不大于60度”的否定是三内角都大于60度,故选B.4.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是(C)(A)an=n2-n+1(B)an=(C)an=(D)an=解析:第一个图案有1个星星,第二个图案有1+2个星星,第三个图案有1+2+3个星星,第四个图案有1+2+3+4个星星;第n个图案有1+2+3+4+n个星星,故选C.5.(2013浙江省宁波市十校联考)已知=1-ni,其中m,nR,i为虚数单位,则m+ni等于(B)(A)1+2i(B)2+
3、i(C)1-2i(D)2-i解析:由已知得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,因此得于是m+ni=2+i,故选B.6.观察下列等式1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+3照此规律,第n个等式为(B)(A)1-4+9-16+(-n)2=(-1)n-1(B)1-4+9-+(-1)n-1n2=(-1)n-1(C)1-4+9-+(-1)nn2=(-1)n-1(D)1-4+9-+(-1)n-1n2=(-1)n解析:观察所给等式,等式左边各式是正整数的平方,且奇数项为正,偶数项为负,故等式左边为1-4+9-+(-1)n-1n2,等式右边的绝对值是连续的正整数的和,加数的个数与左边相同
4、,当加数个数为偶数时为负,个数为奇数时为正,故等式右边为(-1)n-1(1+2+n)=(-1)n-1,故选B.二、填空题7.(2014杭州外国语学校)已知-1,过点P(x0,y0)作一直线与曲线-=1相交且仅有一个公共点,则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或;类比此思想,已知x0y00,y0,a=x+y,b=,则a与b的大小关系是.解析:当sin =0时,cos2=1,b=xx+y=a即ba;当cos =0时,sin2=1,b=yx+y=a,即b0,y0,xx+y,yx+y,(x+y,(x+y,b=(x+y(x+y=(x+y=x+y=a.综上ba.答案:b0,f(x)=,令a1=1
5、,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解:a1=1,a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(nN*).(2)证明:易知n=1时,猜想正确.假设n=k(kN*)时猜想正确,即ak=,则ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=.12.(2012高考广东卷)设数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,nN*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+2n2,=(-)(n2),+1+(1-)+(-)+(-)=1+(1-).
