1、活页作业(八)生活中的优化问题举例1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为()A. cmB10 cmC15 cm D. cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积Vx(202x2)(0x20)V(4003x2)，令V0得x，又当0x0；x20时，V0，当x时，V取最大值答案：D2炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度 (单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1D8解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值
2、1.答案：C3一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为()A. B.C.D2解析：设圆的半径为x，矩形的高记作h，那么窗户面积Sx22hx.窗户周长为l(x)x2x2hx2x.令l(x)20，解得x(舍去负值)l(x)只有一个极值，且为极小值，x为最小值点答案：C4某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_万元解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆总利润L5.06x0.15x22(15x)0.15x23.
3、06x30(15x0)令L0.3x3.060，得x10.2.当x10时，L有最大值45.6.答案：45.6万元5某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为_解析：设销售额为y，销售件数为x，则y当x150且xN时，y的最大值为20015030 000.令g(x)x200 (x150)350xx2，g(x)3502x.解g(x)0，得x175.易知，当x175时，g(x)有最大值30 625.30 62530 000，当x175时，y取得最大值30 625.答案：1756某地建一座
4、桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距a m余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式(2)当a640 m时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xa.则n1.yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xaa2a256.(2)由(1)知，f(x)ax(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当6
5、4 x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小7正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长a为()A. B. C.D2解析：设正三棱柱的高为h，则Va2sin 60ha2h，h.所以正三棱柱的表面积S2a23aha23aa2，Sa.令S0，得a.答案：C8某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)，则总利润最大时，每年生产的产量是()A100B150C200D300解析：设Q(x)表示产量为x时的总利润则Q(x)R(x)100x20 000当
6、0x400时，Q(x)300x，令Q(x)0，则x300，当0x0，当300x400时，Q(x)400时，Q(x)1000，Q(x)单调递减Q(x)Q(400)综上Q(x)maxQ(300)故选D.答案：D9海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_n mile/h.解析：设每小时的燃料费z与航速x满足关系式zax3(0x30)25a103，a.设从甲地
7、到乙地海轮的航速为v，费用为y，则yav340020v2.由y40v0，得v200.设总利润为y万元，则yx1 200x3500x31 200.求导数得，yx2.令y0得x25.故当x0；当x25时，y0.因此，当x25时，函数y取得极大值，也是最大值答案：2511某商场预计2015年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)x(x1)(392x)(xN*，x12)该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是：q(x)(1)写出2015年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费
8、用且每月都能满足市场需求，试问商场2015年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：(1)当x1时，f(1)p(1)37，当2x12，且xN*时，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240x，验证x1时也符合，f(x)3x240x(xN*，且1x12)(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为g(x)，则g(x)即g(x)当1x6，且xN*时，g(x)18x2370x1 400，令g(x)0，解得x5，或x(舍去)当1x0，当5x6时，g(x)0，此时g(x)maxg(5)3 125；当7x12，且xN*时，g(x)480x6 400是减函数
9、，当x7时，g(x)maxg(7)3 040，综上，商场2015年5月份的月利润最大，最大利润为3 125元12(2017高考浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解：(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.
