1、活页作业(十四)数乘向量基础巩固1下列结论中正确的个数为()|a|a|(0)；对向量a(a0)，当0时，沿a的方向伸长了倍，当0时，沿a的反方向缩短了|倍；|a|a|(a0)，当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0时，a的方向任意A0B3C2D1解析：本题主要考查数乘向量的大小、方向及几何意义等概念的理解不正确，|a|a|.不正确，当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反向(0)上伸长为原来的|倍当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反向(0)上缩短为原来的|倍当0时，a0方向任意，正确故选D答案：D2.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，
2、BC的中点，那么()ABCD解析：()，故选D答案：D3已知ae12e2，b2e1e2，则向量a2b与2ab()A一定共线 B一定不共线C当e1，e2共线时共线 D以上都错解析：a2be12e22(2e1e2)5e1,2ab2(e12e2)(2e1e2)5e2，当e1，e2共线时向量a2b与2ab共线选C答案：C4在ABC中，向量2a，b，若|a|b|且|ab|ab|，则ABC为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D无法确定解析：取AB的中点D，则a，又设ab，由|a|b|和|ab|ab|可得四边形ACED为正方形，所以角A为90.选C答案：C5，R，有以下命题：0时，a与a一定反向；
3、a与a一定是共线向量；0，a0时，a与a一定同向；0，a0时，a与a一定反向其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个解析：当a为零向量时，其方向任意，结论不正确0或a0时，a与a共线；0，a0时，a与a同向；0，a0时，a与a反向；总之，a与a共线也正确答案：C6已知2abm，a3bn，那么a，b用m，n可以表示为a_，b_.解析：由解得答案：mnmn7在ABCD中，()，点P在平行四边形的对角线AC上，且不与A，C重合，则实数的取值范围是_.解析：因为对角线AC对应的向量，所以，点P在AC上，故01.答案：(0,1)8若D，E，F分别是ABC三边BC，CA和AB的中点，则_.解析：设
4、ABC的重心为G，有0.，()0.答案：09已知两个不共线向量e1，e2，且2e1e2，e13e2，2e1e2.若A，B，D三点共线，试求实数的值解：由e13e2，2e1e2得e14e2.又2e1e2，且A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，即2e1e2(e14e2)又e1，e2不共线，所以从而8.10已知向量e1，e2是两个共线向量，若ae1e2，b2e12e2，求证：ab.证明：若e1e20，则ab0，a与b共线，即ab.若e1，e2至少有一个不为零向量，不妨设e10，则e2e1(R)，且a(1)e1，b2(1)e1，ae1，be1.而e10，ab.综上可证得ab.11在平面直角坐标系中
5、，O为坐标原点，A，B，C三点满足.求证：A，B，C三点共线，并求的值解：，.又，有公共点B，A，B，C三点共线2，.12已知两个向量e1，e2不共线如果ae12e2，b2e14e2，c4e17e2.问是否存在非零实数，使得向量dab与c共线？解：显然c0，否则4e17e20，即e1e2，与e1，e2不共线矛盾又dab(2)e1(24)e2(0)，假设向量dab与c共线，则存在一个实数，使得dc，即(2)e1(24)e24e17e2，从而消去，得152(0)所以，存在非零实数，只要它们满足152(0)，就能使得向量d与c共线智能提升13已知四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD
6、，DA的中点求证：EFHG且EFHG.证明：如图，而，所以，即EFHG且EFHG.14.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD求证：M，N，C三点共线证明：设a，b，则由向量减法的三角形法则可知ab.点N在BD上，且BNBD，()(ab) (ab)bab.又与的公共点为C，C，M，N三点共线15.如图，在ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E.求证：E为线段BD的一个三等分点证明：设a，b，则ba，ba.因为点A，E，F共线，点B，D，E共线，所以存在实数，R，使，.于是ab，ba.由于，则(1)abab.因为a与b不共线，所以解得.所以.即E为线段BD上靠近点D的一个三等分点16如图所示，ABCD中，E，F分别为AB，AD边上点且|，|，连接CE，BF，记CEBFP，求.解：设，则().又B，P，F三点共线，存在使(1)(1)()(1)(1)(1)(1).解方程得，即.
