1、9.4 空间向量及其运算课标要求考情分析核心素养1空间直角坐标系：在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置；借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式2空间向量及其运算：经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念；经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程3向量基本定理及坐标表示：了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示；了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义本专题近3年未作
2、为小题单独考查，常结合空间向量的应用（用空间向量证明线面关系，求空间角或距离等）里考查数学运算直观想象1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一的实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不
3、共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3. 空间向量的线性运算（1）空间向量的加减法空间中任意两个向量都是共面的，可以平移至同一个平面内，它们的加、减法运算转化为平面向量的加减法运算 （2）空间向量的数乘运算实数与空间向量a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算当时，a与a方向相同；当时，a与a方向相反；当时，a =0a的长度是a的长度的倍 4空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则
4、称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)交换律：abba.分配律：a(bc)abac.5空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角余弦值cosa，b(a0，b0)cosa，b1在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内
5、任意一点2在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间中任意一点3. 空间两点间的距离公式：设点，则.4. 中点坐标公式：设点，则的中点坐标为.1【选必第1册P15 习题3】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN:NA1=1:4，用a，b，c表示向量MN的结果是2【选必第1册P15 习题5】四棱柱ABCD-ABCD中，AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60，BAA=DAA=45，求AC的长考点一空间向量基本定理及其线性运算【方法储备】用已知向量表示某一向量的解题策略
6、(1)用已知向量来表示某一未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则(3)在立体几何中要灵活应用向量加法、减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立【典例精讲】例1. (2022山东省枣庄市期末考试) 如图，在三棱锥SABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB=b，SC=c，则SG=()A. 13a-12b+16c B. 13a-16b+12cC. 16a-13
7、b+12c D. 13a+16b+16c【名师点睛】类比平面向量的线性表示，结合向量加法三角形法则即可.【靶向训练】 练1-1. (2020湖南省月考) 如图，在三棱锥D-ABC中，AB=a+2c，CD=2a-3b+2c，其中a，b，c为不共面的三个非零向量，AC，BD的中点分别为E，F，则EF=()A. 32a-32b+2cB. 32a+2b-3cC. -32a+32b-2cD. 32a-2b-3c练1-2. (2020湖北省黄石市期末考试) 如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基向量OA,OB,OC表
8、示向量OG，设OG=xOA+yOB+zOC，则x，y，z的值分别是()A. x=13,y=13,z=13B. x=13,y=13,z=16C. x=13,y=16,z=13D. x=16,y=13,z=13考点二共线向量定理、共面向量定理的应用【方法储备】证明三点共线和空间四点共面的方法证明三点(P，A，B)共线证明空间四点(M，P，A，B)共面(R)，且同过点Pxy对空间任一点O，t(tR)对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)【典例精讲】例2. (2020山东省同步练习) i,j,k是三个不共面的向量，AB=i-2j+2k,BC=2i+j-3k，CD=
9、i+3j-5k，且A,B,C,D四点共面，则的值为()A. -1B. 1C. -2D. 2【名师点睛】空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基向量，判断3个向量能否作为空间向量的一组基向量，验证其是否共面.【靶向训练】练2-1. (2022河南省郑州市月考试卷) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，若有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1，则点M()A. 在平面BAD1内B. 在平面BA1D内C. 在平面BA1D1内D. 在平面AB1C1内练2-2. (2021湖南省株洲市单元测试多选) 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，
10、C共面”的充分条件的是()A. OM=2OA-OB-OCB. OM=OA+OB-OCC. OM=OA+12OB+13OCD. OM=12OA+13OB+16OC 考点三空间向量的数量积及其应用【方法储备】【典例精讲】例3. (2021河北省张家口市期中考试) 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E,F分别是BC,AD的中点，则AEAF的值为()A. a2B. 12a2C. 14a2D. 34a2【名师点睛】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确【靶向训练】练3-1.
11、(2022全国单元测试) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1AB=A1AC=60，BAC=90，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为()A. 292B. 29C. 232D. 23练3-2. (2022全国月考试卷) 如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=2，EF=4，CA=CB=3，若ABAE+ACAF=7，则EF与BC夹角的余弦值等于 考点四空间向量的坐标运算【方法储备】1.空间向量的坐标（1）正交分解：设为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标（2）设，2.向量的坐标运算用向量的坐标进行，线性运算，数量积运算，求模长、夹角的余弦值
12、，证明向量共线或垂直.【典例精讲】例4. (2022全国模拟) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为()A. 55,1)B. 24,52C. 55,2)D. 2,3【名师点睛】依据题意中的直三棱柱和底面是直角三角形的条件，很容易构建空间直角坐标系，利用坐标运算表示出出DF的长度，利用二次函数的性质求最值.【靶向训练】练4-1. (2021福建省期中考试) 已知A-1,1,2、B1,0,-1，设D在直线AB上，且AD=2DB，设
13、C(,13+,1+)，若CDAB，则的值为 ()A. 116B. -116C. 12D. 13练4-2. (2022湖南省单元测试) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列选项正确的是()A. ACD1NB. MCD1NC. MC(A1B1-A1D1)=0D. MC=AB+12B1B+AD易错点1忽视空间向量夹角为钝角的充要条件.例5. (2022湖北月考) 已知空间向量a，b，|a|=2，|b|=1，a,b=60，则使向量a+b与a-2b的夹角为钝角的实数的取值范围是易错点2. 空间向量的最值问题中忽视已知条件或范围例6.(2022全国单元测
14、试) 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则EAEC的取值范围是()A. 12,1B. 0,1C. -1,0D. -12,0易错点3数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a b)c不一定等于a(bc)例7.(2021云南省普洱市单元测试)下列说法错误的是()A. 设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面B. 设a，b是两个空间向量，则ab=baC. 设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面D. 设a，b，c是三个空间向量，则a(b+c)=ab+ac答案解析【教材改编】1.【解析】在A1MN中，MN=M
15、A1+A1N，MA1=-12A1D1=-12AD=-12b，因为CN:NA1=1:4，所以A1N=45A1C=45(A1A+AC)=45(-AA1+AB+AD)=45(-c+a+b)，所以MN=MA1+A1N=-12b+45(-c+a+b)=45a+310b-45c故答案为：45a+310b-45c2.【解析】AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA(AC)2=(AB+AD+AA)2=AB2+AD2+AA2+2(ABAD+AAAB+ADAA)=25+9+49+2(53cos60+57cos45+37cos45)=98+562，|AC|=98+562即AC的长为98+562【考点探究】例1.【解
16、析】根据题意可得：SG=SE+EG=12SA+13EF=12SA+13ES+SF=12SA-16SA+13SB+BF=13SA+13SB+16BS+SC=13SA+16SB+16SC=13a+16b+16c，故答案选：D练1-1.【解析】EF=EA+AB+BF，EF=EC+CD+DF，2EF=(EA+EC)+AB+CD+(BF+DF)，E为AC的中点，EA+EC=0，同理，BF+DF=0，2EF=AB+CD=(a+2c)+(2a-3b+2c)=3a-3b+4c，EF=32a-32b+2c练1-2.【解析】空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，OM=12OA
17、，ON=12(OB+OC)，OG=OM+MG=OM+23MN=OM+23(ON-OM)=13OM+23ON=1312OA+2312(OB+OC)=16OA+13OB+13OC，因此x=16，y=z=13，故选D例2.【解析】i,j,k是三个不共面的向量，AB=i-2j+2k,BC=2i+j-3k，CD=i+3j-5kAC=3i-j-k,AD=(+3)i+2j-6k，A,B,C,D四点共面，存在实数x,y，满足AD=xAB+yAC，x(i-2j+2k)+y(3i-j-k)=(+3)i+2j-6k，(x+3y)i+(-2x-y)j+(2x-y)k=(+3)i+2j-6k，x+3y=+3-2x-y=
18、22x-y=-6,=1故选B练2-1.【解析】由于PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1，因为11-6-4=1，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C练2-2.【解析】当MA=mMB+nMC时，可知点M与点共面，所以MO+OA=m(MO+OB)+n(MO+OC)，所以m+n-1OM=-OA+mOB+nOC，因为A，B，C三点不共线，所以m+n1，所以OM=-OA+mOB+nOCm+n-1=-1m+n-1OA+mm+n-1OB+nm+n-
19、1OC，不妨令-1m+n-1=x，mm+n-1=y，nm+n-1=z，则此时x+y+z=1，因为2+(-1)+(-1)=01，1+1+(-1)=1，1+12+13=1161，12+13+16=1，由上可知：B，D满足要求故选：BD例3.【解析】AEAF=12(AB+AC)12AD=14(ABAD+ACAD)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2故选：C练3-1.【解析】由题意可知，AO=12(AB+AC1)=12(AB+AC+AA1)，且A1AB=A1AC=60，BAC=90，A1A=3，AB=AC=2，则AO2=14(AB2+AC2+AA12+2ABAC+2ABAA1+2ACAA
20、1)=14(4+4+9+0+22312+22312)=294，AO=292，故选：A练3-2.【解析】由题意可得BC2=9=(AC-AB)2=AC2+AB2-2ACAB=9+4-2ACAB，ACAB=2.由ABAE+ACAF=7可得AB(AB+BE)+AC(AB+BF)=AB2+ABBE+ACAB+ACBF=4+AB(-BF)+2+ACBF=6+BF(AC-AB)=6+12EFBC=7.EFBC=2，即43cos=2，cos=16例4.【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0,1,12)，G(12，0，1)，设F(x,0,0)(0x1)，D(0,y,0)(0y1
21、)，则GD=(-12，y，-1)，EF=(x,-1,-12)，由于GDEF，则GDEF=0，所以DF=(x,-y,0)=(-2y+1,-y,0)，所以|DF|=(-2y+1)2+y2+02=5y2-4y+1=5(y-25)2+15，又0x1，0y1，所以0-2y+11，所以0y12，所以55|DF|1故DF长度的取值范围为55，1)故答案为55，1)练4-1.【解析】设D(x,y,z)，则AD=(x+1,y-1,z-2)，AB=(2,-1,-3)，DB=(1-x,-y,-1-z)，AD=2DB，(x+1,y-1,z-2)=2(1-x,-y,-1-z)；即x+1=2(1-x)y-1=-2yz-2
22、=-2-2z，解得x=13y=13z=0；D(13,13,0)，又C(,13+,1+)，CD=(13-,-,-1-)，CDAB，CDAB=2(13-)+-3(-1-)=0，解得=-116故选B练4-2.【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D0,0,0，A2,0,0，C0,2,0，B2,2,0，D10,0,2，M2,0,1，N2,2,1，A12,0,2，B12,2,2对于A，AC=-2,2,0，D1N=2,2,-1，则ACD1N=-4+4+0=0，所以ACD1N，故A正确；对于B，MC=-2,2,-1，则MCD1N=-4+
23、4+1=10，所以MCD1N不成立，故B错误；对于C，A1B1-A1D1=D1B1=2,2,0，则MCA1B1-A1D1=-4+4+0=0，故C正确；对于D，AB+12B1B+AD=0,2,0+120,0,-2+-2,0,0=-2,2,-1=MC，故D正确故选ACD【易错点归纳】例5.【解析】由题意知(a+b)(a-2b)0,cos-1,即(a+b)(a-2b)0,(a+b)(a-2b)-|a+b|a-2b|,则2+2-20,2+2-2-22+2+42-+1,解得-1-3-1+3例6.【解析】如图，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直
24、角坐标系，可得点A(1,0,0)，C(0,1,0).设点E的坐标为(x,y,1)，则0x1，0y1，EA=(1-x,-y,-1)，EC=(-x,1-y,-1)，EAEC=-x(1-x)-y(1-y)+1=x2-x+y2-y+1=(x-12)2+(y-12)2+12由二次函数的性质可得，当x=y=12时，EAEC取得最小值12，当x=0或x=1，且y=0或y=1时，EAEC取得最大值1，因此EAEC的取值范围是12,1，故选A例7.【解析】A，设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面，正确，因为向量可以平移；B，设a，b是两个空间向量，则ab=ba，正确，因为向量的数量积满足交换律；C，设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面，错误，可能共面；D，设a，b，c是三个空间向量，则a(b+c)=ab+ac，正确，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律故选：C
