1、 专题29 归纳与猜想阅读与思考 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时,可从问题的简单情形或特殊情况人手,通过对简单情形或特殊情况的试验,从中发现一般规律或作出某种猜想,从而找到解决问题的途径或方法,这种研究问题的方法叫归纳猜想法. 归纳是建立在细致而深刻的观察基础上,发现往往是从观察开始的,观察是解决问题的先导,解题中的观察活动主要有三条途径: 1数与式的特征观察 2几何图形的结构观察 3通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 需要注意的是,用归纳猜想法得到的结果,常常具有或然性,它可能是成功的发现,也可能是失败的尝试,需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明 【例1】下图是
2、飞行棋的一颗骰子,根据图中A,B,C三种状态所显示的数字,推出“?”处的数字是_.(“东方航空杯”上海市竞赛试题) (A) (B) (C) 解题思路:认真观察A,B,C三种状态所显示的数字,从中发现规律,作出推断。 【例2】如图,依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形,再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形,按此方法继续下去,若第一个正方形边长为1,则第n个正方形的面积是_ (湖北省武汉市竞赛试题)解题思路:从观察分析图形的面积入手,先考察n1,2,3,4时的简单情形,进而作出猜想【例3】如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时
3、针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7, (1)“17”在射线_上 (2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律 (3)“2 007”在哪条射线上? (贵州省贵阳市中考试题)解题思路:观察发现每条射线上的数除以6的余数相同【例4】观察按下列规则排成的一列数:,() (1)在()中,从左起第m个数记为F(m),当F(m)时,求m的值和这m个数的积 (2)在()中,未经约分且分母为2的数记为c它后面的一个数记为d,是否存在这样的两个数c和d,使cd2 001 000? 如果存在,求出c和d;如果不存在,请说明理由 (湖北省竞赛试题) 解题思路:按分母递减而分子递增的变化规律,对原数列恰
4、当分组,明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置,这是解本例的关键, 【例5】在2,3两个数之间,第一次写上5,第二次在2.5之间和5,3之间分别写上和4,如图所示: 第k次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 (1)请写出第3次操作后所得到的9个数,并求出它们的和 (2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk,第k1次操作后所有数的和记为Sk1,写出Sk1与Sk之间的关系式 (3)求S6的值 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:(1)先得出第3次操作后所得到的9个数,再把它们相加即可 (2)找到规律,即毒次操作几个数的时候,除了头尾两个数
5、2和3之外,中间的n2个数均重复计算了2次,用Sk表示出Sk1(3)根据(1),(2)可算出S6的值能力训练1有数组(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),则第100组的三个数之和为 (广东省广州市竞赛试题)2如图有一长条型链子,其外形由边长为1 cm的正六边形排列而成其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻,若链子上有35个黑色六边形,则此链子有_个白色六边形(2013年“实中杯”数学竞赛试题) 3按一定规律排列的一串数: ,中,第98个数是_. (山东省竞赛试题)4给出下列丽列数2,4,6,8,10,,1 9946,13, 20, 27, 34,,1 994则这两列数中,相同的数的
6、个数是( ) A142 B143 C284(浙江省竞赛试题)5 如图,AOB45,对OA上到点的距离分别为1,3,5,7,9,11,的点作OA的垂线且与OB相交,得到并标出一组黑色梯形,面积分别为S1,S2,S3,则S10.6一条直线分一张平面为两部分,二条直线最多分一张平面为4部分,设五条直线最多分平面为部分,则n等于( ) A16 B1824 D31 (北京市“迎春杯”竞赛试题)7观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律那么2013这个数标在( )A第503个正方形的左下角 B第503个正方形的右下角C第504个正方形的左下角 D第504个正方形的右下角 (2013年浙江省衢江市竞赛试题)8
7、自然数按下表的规律排列: (1)求上起第10行,左起第13列的数(2)数127应在上起第几行,左起第几列 (北京市“迎春杯”竞赛试题)9一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 问:这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数? (“华罗庚金杯”竞赛试题)10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?请说明理由 (“五羊杯”竞赛试题)11.下面是按一定规律排列的一列数:第1个数: ;第2个数:;第3个数:;第n个数:那么,
8、在第10个数,第11个数,第12个数,第13个数中,最大的数是哪一个?12. 有依次排列的3个数:3,9,8对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,10,1,9,8,继续依次操作下去,问:从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?专题29 归纳与猜想例1 6 提示:5的对面是2,4的对面是3,1的对面是6例2 提示:1,进而推出例3 (1)OE (2)射线OA上数字的排列规律:6n5(n为自然数,下同);射线OB上数字
9、的排列规律:6n4;射线OC上数字的排列规律:6n3;射线OD上数字的排列规律:6n2;射线OE上数字的排列规律:6n1;射线OF上数字的排列规律:6n (3)在6条射线的数字规律中,只有6n32007有整数解,解围n335,故“2007”在射线OC上例4 (1)可分组为(),(,),(,),(,),(,),可知各组数的个数依次为1,2,3,当F(m)时,m(122001)22003003,这2003003个数的积为例5 (1)第3次操作后所得到的9个数为:2,5,3,4,3 它们的和为25343 (2)由条件知5,则 (3)因故40;55,【能力训练】11010100 2142 提示:若有n
10、个黑色六边形,则白色六边形个数为4n2故35时,4n2435142个3 4B576 黑色梯形的规律明显:每个梯形的高都为2,上底分别对OA上的1,5,9,下底分别对应OA上的3,7,11,而上、下底的长度恰好和它在OA上对应的数值是一样的以上底为例,11,5141,9142,故第10个梯形的上底对应OA上的数为14937,下底的长正好为39,于是766A7D 提示:201345031,故在第504个正方形右下角8(1)第1列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在的行数的平方第10行起,左起第13列,应该是第13列的第10个数,即1014410154(2)数127满足关系式12766,即12
11、7在左起第12列,上起第6行的位置9观察已经写出的数,发现每三个连续数中恰好有一个偶数,在前100项中,第100项是奇数,前99项中有33个偶数10设至少要画k条直线k条直线最多将圆分成11234k块,当k9时,1123946,当k10时,11231056,故至少要画10条直线,可以将圆纸片分成不小于50块11若对前三个先进行计算: 第1个数:(1)0; 第2个数:(1)11; 第3个数:(1)1111; 按此规律,第n个数:(1)111 由此可知n越大,第n个数越小,那么在第10个数,第11个数,第12个数,第13个数中,最大的数是第10个数12一个依次排列的n个数组成一个数串:,依题设操作方法可得新增的数为:,新增数之和为()()()()(*)原数串为3个数:3,9,8第一次操作根据(*)可知,新增4项之和为6(1)583;第二次操作后所得数串为:3,3,6,3,9,10,1,9,8根据(*)可知,新增4项之和为33(10)9583按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为:(398)100(83)520