1、专练33高考大题专练(三)数列的综合运用1.已知等差数列an满足a13，a515，数列bn满足b14，b531.设cnbnan，且cn为正项等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.2.2020全国卷设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.3.2019全国卷已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式4.2020河南信阳高三测试设数列an的前n项和为Sn，a1
2、2，an12Sn.(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1log2(an)2，求证数列的前n项和Tn.5.2020全国卷设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和专练33高考大题专练(三)数列的综合运用1解析：(1)设等差数列an的公差为d，依题意得a5a14d34d15，解得d3，因此an33(n1)3n.设等比数列cn的公比为q(q0)，由已知得c1b1a1431，c5b5a5311516.因为c5c1q4，即161q4，解得q2(负值舍去)，所以cn12n12n1.由cnbnan得bnancn，所以bn3
3、n2n1.(2)由(1)得bn3n2n1，所以数列bn的前n项和Sn(31)(621)(922)(3n2n1)(3693n)(12222n1)2n1.2解析：(1)a25，a37.猜想an2n1.由已知可得an1(2n3)3an(2n1)，an(2n1)3an1(2n1)，a253(a13)因为a13，所以an2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.从而2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1)2n1.所以Sn(2n1)2n12.3解析：本题主要考查等差数列与等比数列的定义及通项公式，意在考查考生的逻辑推理能
4、力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算(1)由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.4解析：(1)an12Sn(nN*)当n2时，an2Sn1，an1anSnSn1an，an12an(n2)，又a22a14，又a12，a22a1，an是以2为首项以2为公比的等比数列，an22n12n.(2)证明：bn1log2(an)2，则bn2n1，Tn.5解析：(1)设an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q11(舍去)，q22.故an的公比为2.(2)记Sn为nan的前n项和由(1)及题设可得，an(2)n1.所以Sn12(2)n(2)n1，2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以Sn.
