1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集，集合，则集合中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先求解集合A，然后根据补集的定义写出，从而求出集合中元素的个数.【详解】解：由题意可知：，又全集，所以，所以所求集合元素的个数是.故选：A.【点睛】本题考查补集的定义和运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.2.若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）A. -2B. -1C. 1D.
2、 2【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数,再根据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为
3、18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.已知实数，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断的大小范围，然后判断三个数的大小关系【详解】解：
4、因为所以12，2+2ln22，01， cab 故选A【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较5.在如图的程序框图中，为的导函数，若，则输出的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，f1(x)=cosx，f2(x)=sinx，f3(x)=cosx，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx.题目中的函数为周期函数，且周期T=4，f2018(x)=f2(x)= sinx.故选C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题
5、，是求和还是求项.6.中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析： 当时，由余弦定理得，故，即，所以是等腰三角形，反之，当是等腰三角形时等腰三角形时，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件考点：1、余弦定理；2、充分必要条件.7.若等差数列和等比数列满足，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得，选A8.直角坐标系中，是原点，动点在直线上运动，若从动点向点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值是（ ）A. B
6、. 4C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】由可知点的轨迹为圆心为，半径为1的圆，设出的坐标，切线长为，根据直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形，根据勾股定理列出等式，利用二次函数求最小值的方法求出的最小值即可【详解】设点，所以，所以点的轨迹为圆心为，半径为1的圆，设，切线长为，则点到圆心的距离根据直线与圆相切时，切线长、半径、圆心到圆外点的距离成直角三角形，根据勾股定理得：即，当时，的最小值为24，得到的最小值为故选：D【点睛】本题主要考查学生会根据条件得到动点的轨迹方程，考查直线和圆的位置关系，考查二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.赵爽是我
7、国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在中，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概
8、率计算问题，是基础题10.若矩形的对角线交点为，周长为，四个顶点都在球的表面上，且，则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值【详解】如图，设矩形的两邻边分别为，则，且外接圆的半径由球的性质得，平面，所以球的半径由均值不等式得，所以，所以，当且仅当时，等号成立所以球的表面积的最小值为，故选【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型11.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，若线段的长
9、分别为，则的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得，再利用基本不等式可求得最小值【详解】抛物线的焦点为，准线为，如图，过作于，过作于，过作于，交轴于点，准线与轴交于点，则，由得，当且仅当，即时等号成立故选：B【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查基本不等式求最值解题关键是由抛物线的性质得出满足的关系，然后用凑配法配出基本不等式所需定值12.已知偶函数满足，且当时，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，利用导数分析函数的单调性与极值，可作出函数
10、在区间上的图象，由题意可知，不等式在上有且只有个整数解，然后分、三种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，则，即，所以，函数是以为周期的周期函数，当时，令，得.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以，又，作出函数在上的图象如下图所示：由于关于不等式在上有且只有个整数解，则关于的不等式在上有且只有个整数解.若，由可得，此时，该不等式在有个整数解，不合乎题意；若，由可得或.不等式在上无整数解；不等式上有个整数解.不合乎题意；若，由可得或.不等式在上无整数解，则不等式在上有个整数解，由于，且，所以，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查函数不等
11、式的整数解的个数问题，考查了导数的应用以及函数周期性的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在题后横线上.13.已知菱形的边长为，则_.【答案】【解析】【分析】作出图形，利用平面向量数量积的定义可求得的值.【详解】如下图所示：由于，则，所以，向量与的夹角为，由于菱形的边长为，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，要明确两向量间的夹角，考查计算能力，属于基础题.14.若实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】8【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，把求目标函数的最大值，看成直线在轴
12、上截距的最小值，找到点的坐标代入目标函数即可.【详解】如图所示，作出约束条件所表示的可行域，目标函数的最大值等价于直线在轴上截距的最小值，所以当直线过点时，其在轴上截距的最小值，所以，故填：.【点睛】本题考查线性规划问题，考查利用直线在轴截距的几何意义求最值.15.函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）xf（x）0的解集为 【答案】【解析】【详解】试题分析：在x0时,xf（x）递减，所以的解集是考点：构造函数研究单调性，解抽象不等式16.过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，且，则的值为_.【答案】1【解析】【分析】根据题意，设，点，点，利用向量共线可得，两式分
13、别相乘后再同除4，即，同理可得：，在两式相加即可得到结论.【详解】由题意，设，点，点，由，则，即，两式相乘可得：，即，同理可得：，又点，在椭圆上，即，由相加可得：，即，故，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，且是函数的一个极小值点.（）求实数的值；（）求在区间上最大值和最小值.【答案】(1)；(2)当或时，有最小值；当或时，有最大值.【解析】分析】（）先求函数的导函数，因为是函数的一个极小值点，所以，即可求得的值（）由（）知，求导，在令导数等于0，讨论导数的正负可得函数的单调
14、区间，根据函数的单调区间可求其最值【详解】（）. 是函数的一个极小值点，.即，解得. 经检验，当时，是函数的一个极小值点.实数的值为.（）由（）知，.令，得或.当在上变化时，的变化情况如下： 当或时，有最小值当或时，有最大值.18.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1）根据下图，求所
15、有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数（精确到小数点后一位）；（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率？【答案】（1）平均时长为6.8，中位数为6.7；（2）在和两组中分别抽取30人和20人，.【解析】【分析】（1）结合题中数据，按照中位数的平均数的概念计算即可；（2）根据分层抽样的定义先计算出和两组抽取的人数，然后利用列举法计算小组中至少有1人发言的概率的概率即可.【详解】（1）设抽查
16、人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为，.设抽查人员利用“学习强国”的中位数为，解得.即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为6.7；（2）的人数为人，设抽取的人数为，组的人数为人，设抽取的人数为，则，解得，所以在和两组中分别抽取30人和20人，在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将组中被抽取的工作人员标记为，将中的标记为，设事件表示从小组中至少抽取1人，则抽取的情况如下：，共10种情况，其中在中至少抽取1人有7种，则.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数和中位数的计算，考查分层抽样，考查概率的计算，考查分析和解决问题的能力，考查计算能力，属于常考题.19.如图，
17、长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积【答案】（1）见详解；（2）18【解析】【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，平面；平面，所以，又，且平面，平面，所以平面； （2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中点，连结，因为，则；所以平面，所以四棱锥的体积为.
18、【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.20.已知椭圆：的右顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点的直线交圆于、，直线、分别交椭圆于点、，求的取值范围？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的顶点求出a，点代入椭圆方程求出b，即可写出椭圆的方程；（2）设：，联立与圆的方程求出、联立与椭圆求出，同理求出、，代入求得表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求得范围.【详解】（1）由椭圆顶点知，因为点在椭圆上，所以，椭圆方程为.（2）因为AB为圆的直径，所以，则，设：
19、.联立与圆得：，解得，联立与椭圆得：，解得，同理得，令，因为当时，所以即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合应用、换元法求函数的值域，属于较难题.21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以
20、的最小值为,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题.22.在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为 极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值【详解】（1）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，因为 的普通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 （2）因为射线，则 ，则，所以又 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用
