1、2020-2021学年高三下学期数学开学摸底考试（新课标全国卷文科）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.若复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )A.B.C.D.3.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,则等于( )A.B.C.D.4.设为两个事件，已知，则( )A.B.C.D.5.在一组样本数据为(不全相等)的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的相关系数为( )A.B.C.1D.6.已知扇形的周长为,半径是,则扇形的圆心角的弧度数是( )A.4
2、B.1C.1或4D.27.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. B. C. D. 8.“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框中可填( )A.B.C.D.10.已知等差数列的前n项和为,则( )A.3B.6C.9D.1211.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是( )A.B.C.或D12.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为( )A.B.C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若
3、满足约束条件则的最小值为_.14.已知向量,且,则向量和的夹角是_,_.15.过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是_.16.公差不为零的等差数列中,数列是等比数列,且,则_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出红球得1分，取出黄球得2分，取出蓝球得3分.(1)当，时，从该袋子中任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2个球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋
4、中任取(每个球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若，求.18. （12分）的内角的对边分别是，设.（1）若，求A；（2）若，求的面积的最大值.19. （12分）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点M是的中点.（1）求证：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （12分）已知函数的导函数的两个零点为和0.(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.21. （12分）已知椭圆C的两个焦点为，且经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l与椭圆C交于两点(点A位于x轴上方)，若，且，求直线l的斜率k的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，2
5、3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程.(2)设点在曲线上,点在曲线上,求的最大值.23. 选修45：不等式选讲（10分）已知,函数,其中.(1)求使得等式成立的x的取值范围；(2)(i)求的最小值.(ii)求在区间上的最大值.答案以及解析1.答案：C解析：由已知可得，又，故选C.2.答案：A解析：因为，所以，所以复数z的共轭复数为.故选A.3.答案：C解析：将双曲线C化为标准方程，则，.
6、由双曲线定义，知 .又，.故选C.4.答案：A解析：由条件概率的计算公式，可得，故选A.5.答案：D解析：由回归方程是,可得变量是负相关的,所以这组样本数据的相关系数为负值,又所有样本点都在该直线上,则,所以相关系数.故选D.6.答案：B解析：由题意知，设扇形的圆心角的弧度数为，则，解得.故选B.7.答案：B解析：由题意,将函数的图象向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.8.答案：D解析：由可知.由推不出,由也推不出,故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.9.答案：B解析：模拟执行程序框图，此时条件不成立，得到；此时条件不成立，得到；此时条件不成立，得到；此时条件不成立，
7、得到；此时条件不成立，得到；此时条件成立，输出.结合选项可知判断框中可填“”，故选B.10.答案：B解析：设等差数列的公差为.,.故选B.11.答案：A解析：本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.12.答案：A解析：因为的面积为，所以的半径.因为，所以为正三角形，又是的外接圆，所以由正弦定理得，得.因为，所以，由题易知平面，则球心到平面的距离为.设球的半径为，则，所以球的表面积，故选A.13.答案：-7解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最小,最小值为
8、. 14.答案：;6解析：设向量的夹角为,因为,且,所以,解得.又,所以,所以.15.答案：解析：由题意知,.,所求直线的斜率.故直线方程为,即.16.答案：16解析：,且.17.答案：(1)由题意得可取2，3，4，5，6.故，.所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以，.解得，故.18.答案：（1）由，结合正、余弦定理，得，化简得，代入，得.由余弦定理，得，因为，所以.（2）由（1）知，由余弦定理，得，的面积，当时，S取得最大值.19.答案：（1）平面平面.四边形为矩形，平面平面，平面，平面，为等腰直角三角形，M是的中点，平面平面，平面，又平面，.（2）如图所示，以点A
9、为坐标原点，建立空间直角坐标系，则.设平面的一个法向量为，由可得.令，得.设直线与平面所成的角为，则.直线与平面所成的角的余弦值为.20.答案：(1).令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.又因为,所以当时,即,当或时,即,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由(1)知,是的极小值点,所以有解得,所以.由(1)可知当时,取得极大值,为,故在区间上的最大值取和中的最大者.因为,所以函数在区间上的最大值是.21.答案：（1）设椭圆C的方程为.则可得所以椭圆C的方程为.（2）设直线.由得.设，则.又，所以，即.由于，所以，即.又，所以.故斜率k的取值范围是.22.答案：(1)曲线的参数方程为(为参数).的直角坐标方程为,即.(2)由(1)知,曲线是以为圆心,1为半径的圆.设,则.当时,取得最大值.因为,当且仅当三点共线,且在线段上时,等号成立.所以.23.答案：(1)由于,故当时,当时,所以,使得等式成立的x的取值范围为.(2)(i)设函数,则,所以,由的定义知,即.(ii)当时,当时,.所以.
