1、2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1抛物线y2=x的准线方程为_2计算i+2i2+3i3+2016i2016=_3异面直线a，b成60，直线ca，则直线b与c所成的角的范围为_4如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为_5已知AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是AOB的垂心，则点A，B的坐标_6在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_（填上所有正确答案的序号）7已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=
2、1，|z1z2|=，则|z1+z2|等于_8三个平面能把空间分为_部分（填上所有可能结果）9已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60，则=_10已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，则复数|z1+z2|=_11二面角l的平面角为120，在面内，ABl于B，AB=2在平面内，CDl于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为_12已知虚数z=（x2）+yi（x，yR），若|z|=1，则的取值范围是_13已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于_14如图，直线y
3、=x与抛物线y=x24交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则OPQ面积的最大值为_二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A相交B异面C平行D垂直16（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，bR）是某一元二次方程的根，则abi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A3B2C1D017如图所示，在正方体ABCDA1B1C
4、1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）ABCD18设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）Pa，Paab=P，baab，a，Pb，Pb=b，P，PPbABCD三、解答题（满分74分）19已知复数z1=+（a23）i，z2=2+（3a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m=0的根，求实数m值20如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1，DD1底面ABCD，底面ABCD为平行四边形
5、，DAB=45，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角BAD1D的大小21已知z为复数，=z+为实数，（1）当210，求点Z的轨迹方程；（2）当42时，若u=（0）为纯虚数，求：的值和|u|的取值范围22动圆M与圆（x1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况要有解题过程，没解题方程只有
6、结论的只得结论分23已知复数z1=m+ni（m，nR），z=x+yi（x，yR），z2=2+4i且（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1抛物线y2=x的准线方程为x=【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右
7、，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1抛物线y2=x的准线方程为x=故答案为：x=2计算i+2i2+3i3+2016i2016=10081008i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数单位的幂运算，化简求解即可【解答】解：i+2i2+3i3+2016i2016=（i23i+4）+（5i67i+8）+2016=504（22i）=10081008i故答案为：10081008i3异面直线a，b成60，直线ca，则直线b与c所成的角的范围为30，90【考点】异面直线及其所成的角【分析】作b的平行线b，交a于O点，所有与a垂直的
8、直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面，O点是直线a与平面的交点，在直线b上取一点P，作垂线PP平面，交平面于P，POP是b与面的线面夹角，在平面所有与OP垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围【解答】解：如图作b的平行线b，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面，O点是直线a与平面的交点，在直线b上取一点P，作垂线PP平面，交平面于P，POP是b与面的线面夹角，POP=30在平面中，所有与OP平行的线与b的夹角都是30在平面所有与OP垂直的线PP平面，该线PP，则该线平面OPP，该线b，与b的夹角为90，与OP夹角大于0，小于90的线，与b的夹角为锐角且大
9、于30直线b与c所成的角的范围30，90故答案为：30，904如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=cosEB1F=，故答案为5已知AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，2）【考点】
10、抛物线的简单性质【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AFOB，设A（，y1）（y10），则B（，y1）求出AF，OB的斜率，令kOBkAF=1解出y1即可得出A，B的坐标【解答】解：抛物线焦点F（1，0），焦点F是AOB的垂心，直线ABx轴A，B关于x轴对称设A（，y1）（y10），则B（，y1）kOB=kAF=焦点F是AOB的垂心，AFOBkOBkAF=1，即=1，解得y1=2A（5，2），B（5，2）故答案为：A（5，2），B（5，2）6在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（2）、（4）（填上所有正确答案的序号）【考点
11、】异面直线的判定【分析】图（1）中，直线GHMN，图（2）中M面GHN，图（3）中GMHN，图（4）中，H面GMN【解答】解析：如题干图（1）中，直线GHMN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GMHN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H面GMN，GH与MN异面所以图（2）、（4）中GH与MN异面故答案为：（2）、（4）7已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1z2|=，则|z1+z2|等于1【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，故可令z1=cos
12、A+isinA，z2=cosB+isinB，代入，|z1z2|=，及|z1+z2|，比较即可求得所求的答案【解答】解：复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=1，可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB|z1z2|=，故有（cosAcosB）2+（sinAsinB）2=3，整理得2cosAcosB+2sinAsinB=1又|z1+z2|2=（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=2+2cosAcosB+2sinAsinB=1|z1+z2|=1故答案为：18三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分（填上所有可能结果）【考点】平面的基本性质及推论【分析】此类问题
13、可以借助实物模型来研究，用房屋的结构来研究就行【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或89已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60，则=【考点】余弦定理的应用；复数求模【分析】由余弦定理可得Z1+Z2|=，|Z1Z2|=，故=【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|=|OB|=，同理可得|Z1Z2|=|CA=|=，=10已知复数z1，
14、z2满足|z1|=|z2|=1，则复数|z1+z2|=【考点】复数求模【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，判断三角形是直接三角形，即可求得所求的答案【解答】解：因为|z1|=|z2|=1，所以复数z1，z2，构成的三角形是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|=故答案为：11二面角l的平面角为120，在面内，ABl于B，AB=2在平面内，CDl于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为【考点】点、线、面间的距离计算【分析】要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可，
15、而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长即可【解答】解：将二面角l平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE=5，EC=1故AC=故答案为：12已知虚数z=（x2）+yi（x，yR），若|z|=1，则的取值范围是，【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数的模，利用模长公式得：（x2）2+y2=1，根据表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率根据直线与圆相切的性质得到结果【解答】解：复数（x2）+yi（x，yR）的模为1，（x2）2+y2=1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，
16、同理求得最小值是，如图示：的取值范围是，故答案为：，13已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则ABF的面积等于2【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则， =4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得kAB，可得直线AB的方程为：y2=x2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案【解答】解：F是抛物线C：y2=4x的焦点，F（1，0）设A（x1
17、，y1），B（x2，y2），则， =4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），线段AB的中点为M（2，2），y1+y2=22=4，又=kAB，4kAB=4，解得kAB=1，直线AB的方程为：y2=x2，化为y=x，联立，解得，|AB|=4点F到直线AB的距离d=，SABF=2，故答案为：214如图，直线y=x与抛物线y=x24交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则OPQ面积的最大值为30【考点】二次函数的性质【分析】把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜
18、率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值【解答】解：直线y=x与抛物线y=x24联立，得到A（4，2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由kAB，直线AB的垂直平分线方程y1=2（x2）令y=5，得x=5，Q（5，5）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x， x24）点P到直线OQ的距离d=|x2+8x32|，|OQ|=5，SOPQ=|OQ|d=|x2+8x32
19、|，|P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，4x44或44x8函数y=x2+8x32在区间4，8上单调递增，当x=8时，OPQ的面积取到最大值30故答案为：30二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A相交B异面C平行D垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论【解答】解：如图，在正方体AC1中：A1BD1CA1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又EF平面
20、A1BCD1，且两直线不平行，直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A16（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，bR）是某一元二次方程的根，则abi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A3B2C1D0【考点】命题的真假判断与应用；复数的基本概念【分析】直接利用复数的基本概念频道命题的真假即可【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，bR）是某一元二次方程
21、的根，则abi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z=x+yi（x，yR），由z2=（x+yi）2=i，得x2y2+2xyi=i，解得：或z=+i或z=i所以正确故选：C17如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）ABCD【考点】轨迹方程【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分从而得出
22、正确选项【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分A的图象为直线的图象，排除AB项中B不是抛物线的焦点，排除BD项不过A点，D排除故选C18设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）Pa，Paab=P，baab，a，Pb，Pb=b，P，PPbABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解【解答】解：当a=P时，Pa，P，但a，错；当a=P时
23、，错；如图ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确故选D三、解答题（满分74分）19已知复数z1=+（a23）i，z2=2+（3a+1）i（aR，i是虚数单位）（1）若复数z1z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m=0的根，求实数m值【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a
24、所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x26x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a的值，从而求出m的值【解答】解：（1）由条件得，z1z2=（）+（a23a4）i因为z1z2在复平面上对应点落在第一象限，故有解得2a1（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m=0的根所以z1+=6，即a=1，把a=1代入，则z1=32i， =3+2i，所以m=z1=1320如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1，DD1底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，DAB=45，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小
25、；（2）求二面角BAD1D的大小【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，可得AB=，AA1=2在ABD中，利用余弦定理可得：DB=1利用勾股定理的逆定理可得ADB=90由DD1底面ABCD，可得DD1DB，可得DB平面ADD1，即可得出异面直线AD1与BD所成角（2）由（1）可得：DB平面ADD1在RtADD1中，经过点D作DOAD1，垂足为O，连接OB，可得OBAD1BOD即为二面角BAD1D的平面角利用直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：（1）不妨设AD=1，AD，AB，AA1三条棱的长组成公比
26、为的等比数列，AB=，AA1=2在ABD中，DB2=1，解得DB=1AD2+DB2=AB2，ADB=90ADDBDD1底面ABCD，DB平面ABCD，DD1DB，又ADDD1=D，DB平面ADD1，DBAD1，异面直线AD1与BD所成角为90（2）由（1）可得：DB平面ADD1在RtADD1中，经过点D作DOAD1，垂足为O，连接OB，则OBAD1BOD即为二面角BAD1D的平面角在RtADD1中，OD=在RtODB中，tanBOD=BOD=arctan21已知z为复数，=z+为实数，（1）当210，求点Z的轨迹方程；（2）当42时，若u=（0）为纯虚数，求：的值和|u|的取值范围【考点】复数
27、代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）设z=x+yi，x，yR，则=+i为实数，可得y=0，因此y=0，或x2+y2=9通过分类讨论即可得出（2）由（1）可得：y=0时，=x+，由42，可得42，利用基本不等式的性质即可得出x2+y2=9时=2x，由于42，即可得出x的取值范围由u=（0）为纯虚数，化简可得，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出【解答】解：（1）设z=x+yi，x，yR，则=z+=x+yi+=x+yi+=+i为实数，y=0，y=0，或x2+y2=9y=0时，=x+210，210，x0时，解得1x9x0时，x综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是x2+y
28、2=9时=2x，210，22x10，解得1x5因此x2+y2=9时可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（1x5）（2）由（1）可得：y=0时，=x+42，42，x0时，6；x0时，6综上可得：y=0时，x，点Z的轨迹无方程x2+y2=9时=2x，42，42x2，解得2x1u=（0）为纯虚数，u=，29=0，2y0，解得=3，y0u=，x（2，1），|u|=3，|u|22动圆M与圆（x1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个
29、数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分【考点】轨迹方程【分析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则，（x1）2+y2=x2+2|x|+1，当x0时，y=
30、0；当x0时，y2=4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，设M（x，y），则|MA|=当x=1，即M（1，2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k4）x+4k2+4k+1=0由=（4k2+2k4）24k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=1或k=当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k（，+）（，1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k=1或k=或k，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k（0，）（1，）时，m与C
31、有3个交点23已知复数z1=m+ni（m，nR），z=x+yi（x，yR），z2=2+4i且（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据复数条件求出关系式，结合复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）先按向量方向平移个单位得到即为向 x 方向移动 1=个
32、单位，向 y 方向移动 11=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C的轨迹方程；（3）设A（x0，y0），斜率为k，切线yy0=k（xx0） 代入（y+6）2=2x3消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题【解答】解：（1）iz2=（mni）i（2+4i）=（n2）+（m4）i；复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动x+2=（y+7）21（y+7）2=2（x+3）复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程：（y+7）2=2（x+3）（2）按向量方向平移个单位， =1即为向 x 方向移动 1=个单位，向 y 方向移动 11=1 个单位（y+7）2=2（x+3）y+7=得轨迹方程 y+7=（y+6）2=2（x+）=2x3C的轨迹方程为：（y+6）2=2x3（3）设A（x0，y0），斜率为k，切线yy0=k（xx0） （k0），代入（y+6）2=2x3整理得：（y+6）2=2（）3，=0k=，设定点M（1，0），且以线段AB为直径的圆恒过一定点M，M点的坐标（1，0）2016年9月14日
