1、2020-2021学年浙江省宁波市奉化区高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1直线的倾斜角是（）ABCD2已知命题：“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（）A0B1C2D43设m、n是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若mn，m，n，则D若m，n，m，n，则4如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OABC，且直观图OABC的面积为2，则该平面图形的面积为（）A2B4C4D25已知直线l1：yx1，l2：yk2x2，则“k2”是“l1l2”的
2、（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）7过点（0，2）的直线交抛物线y216x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12y221，则OAB（O为坐标原点）的面积为（）ABCD8正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小是（）ABCD9已知F2是双曲线1（a0，b0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线yx上任意一点Q，都有|PQ|QF2|，则此双曲线的离心率为（）ABC2D10在矩形ABCD中，AB4，A
3、D3，E为边AD上的一点，DE1，现将ABE沿直线BE折成ABE，使得点A在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角ABEC的大小为，直线AB，AC与平面BCDE所成的角分别为，则（）ABCD二填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知平行直线l1：2x+y10，l2：2x+y+10，则l1，l2的距离 ；点（0，2）到直线l1的距离 12双曲线y21的焦距是 ，渐近线方程是 13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 14已知圆C的圆心（2，0），点A（1，1）在圆C上，则圆C的方程是 ；以A为切点的圆C的切线方程是 1
4、5已知空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，则向量与向量的夹角的余弦值 16已知在矩形ABCD中，AB，BCa，PA平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQDQ，则a的最小值是 17已知长方体ABCDA1B1C1D1，ABBC1，AA12，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知方程+1（mR）表示双曲线（）求实数m的取值集合A；（）设不等式x2（2a+1）x+a2+a0的解集为B，若xB是xA的充分不必要条件，求实数a的取值范围19已知直
5、线l过点M（3，3），圆C：x2+y2+4y+m0（mR）（）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围20如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点（）求证：PBDM；（）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值21已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M
6、，N分别为线段AB，CD的中点，求TMN的面积最小值22已知椭圆C：+1过点A（2，1），且a2b（）求椭圆C的方程；（）过点B（4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x4于点P，Q求的值参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1直线的倾斜角是（）ABCD解：直线的斜率为，倾斜角是，故选：C2已知命题：“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（）A0B1C2D4解：若ab，c20，则ac2bc2原命题若ab，则ac2bc2为假；逆否命题与原命题等价，逆否命题也为假原命题的逆命题是：若ac2bc2，则c20且c20，
7、则ab逆命题为真；又逆命题与否命题等价，否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2故选：C3设m、n是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若mn，m，n，则D若m，n，m，n，则解：在A中，若m，n，mn，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；在B中，若m，n，mn，则与相交或平行，故B错误；在C中，若mn，m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故D错误故选：A4如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OABC，且直观图OABC的面积为2，则该平面图形的面积为（）A2B4C4D2解
8、：由已知直观图OABC的面积为2，原来图形的面积S224，故选：B5已知直线l1：yx1，l2：yk2x2，则“k2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若l1l2，则k21，即k24，则k2或2，则“k2”是“l1l2”的充分不必要条件，故选：A6在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）解：在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，y，z），点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（2，1，4）故选：B7过点（0，2）的直线交
9、抛物线y216x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12y221，则OAB（O为坐标原点）的面积为（）ABCD解：设直线方程为xmy+2m，代入y216x可得y216my32m0，y1+y216m，y1y232m，（y1y2）2256m2+128m，y12y221，256m2（256m2+128m）1，OAB（O为坐标原点）的面积为|y1y2|故选：D8正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小是（）ABCD解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（
10、1，1，1），D1（0，0，1），（0，1，0），（1，1，1），（0，0，1），设平面ABD1的法向量（x，y，z），则，取y1，得，设平面BB1D1的法向量（a，b，c），则，取a1，得（1，1，0），设二面角ABD1B1的大小为，则cos，二面角ABD1B1的大小为故选：C9已知F2是双曲线1（a0，b0）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线yx上任意一点Q，都有|PQ|QF2|，则此双曲线的离心率为（）ABC2D解：【解法一】由题意知渐近线yx是线段F2P的垂直平分线，yx垂直平分PF2，OF2c，tanQOF2，MF2b，OMa，PF12OM2a，PF22b，由垂直平分线的定
11、义和抛物线的定义知，|PF2|PF1|2b2a2a，b2a，ca，双曲线的离心率为e；【解法二】由题意知渐近线yx是线段F2P的垂直平分线，且直线F2P的方程为y（xc）；则由，解得，即直线F2P与渐近线yx的交点为M（，）；由题意知F2（c，0），利用中点坐标公式求得点P的坐标为（，）；又点P在双曲线上，1，化简得c25a2，解得，此双曲线的离心率为e故选：D10在矩形ABCD中，AB4，AD3，E为边AD上的一点，DE1，现将ABE沿直线BE折成ABE，使得点A在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角ABEC的大小为，直线AB，AC与平面BCDE所成的角分别为，则（）
12、ABCD解：如图所示，在矩形ABCD中，过A作AFBE交于点O，将ABE沿直线BE折成ABE，则点A在平面BCDE内的射影O在线段OF上，设点A到平面BCDE上的距离为h，则hAO，由二面角，线面角的定义得，tan，tan，tan，OOOCOB，tantantan，故选：A二填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知平行直线l1：2x+y10，l2：2x+y+10，则l1，l2的距离；点（0，2）到直线l1的距离解：l1：2x+y10，l2：2x+y+10，l1，l2的距离d；点（0，2）到直线l1的距离d；故答案为：，12双曲线y21的焦距是2，渐近线方程是yx
13、解：双曲线1中，a，b1，c，焦距是2c2，渐近线方程是yx故答案为：2；yx13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为5+2+解：由题意可知几何体的直观图如图：一个侧面与底面垂直，四棱锥的顶点在底面上的射影是边的中点，底面是正方形边长为2，棱锥的高为1，所以几何体的体积为：，四棱锥的表面积为：22+2+5+2故答案为：；5+214已知圆C的圆心（2，0），点A（1，1）在圆C上，则圆C的方程是（x2）2+y210；以A为切点的圆C的切线方程是y3x+4解：根据题意，圆C的圆心（2，0），点A（1，1）在圆C上，则圆的半径r|CA|，故圆的方程为（x2）2+y210，又由C
14、（2，0）、A（1，1），则KCA，则以A为切点的圆C的切线方程斜率k3，切线过点A，则其方程为y13（x+1），即y3x+4；故答案为：（x2）2+y210，y3x+415已知空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，则向量与向量的夹角的余弦值 解：空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），（1，1，0），（1，0，2）则向量与向量的夹角的余弦值为：cos故答案为：16已知在矩形ABCD中，AB，BCa，PA平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQDQ，则a的最小值是4解：假设在BC边长存在点Q，使得PQDQ，连结AQ，在矩形ABCD中，AB，
15、BCa，PA平面ABCD，PADQ，PQDQ，DQ平面PAQ，DQAQ，AQD90，由题意得ABQQCD，设BQx，x（ax）8，即x2ax+80（*），当a2320时，（*）方程有解，当a时，在BC上存在点Q满足PQDQ，故a的最小值为4故答案为：417已知长方体ABCDA1B1C1D1，ABBC1，AA12，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为解：如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1，ABBC1，AA12，连接BC1，过点C1作C1PCD1，则C1P平面BCD1A1，又AD1BC1，PBC1是异面直线AD1与BP所成的最小角，在RtPBC1
16、中，C1P，BC1，sinPBC1故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知方程+1（mR）表示双曲线（）求实数m的取值集合A；（）设不等式x2（2a+1）x+a2+a0的解集为B，若xB是xA的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：（）由方程+1（mR）表示双曲线，可得：m（4m）0，可得集合Am|m0或m4；（） 由题意：Bx|x2（2a+1）x+a2+a0x|（xa）（xa1）0x|axa+1，xB是xA的充分不必要条件，即有BA，a4或a+10实数a的取值范围：a4或a119已知直线l过点M（3，3），圆C：x2+y2+4y+m0（mR
17、）（）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程；（）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围解：（）圆C方程标准化为：x2+（y+2）24m圆心C的坐标为（0，2）直线l截圆C弦长最长，即l过圆心，故此时l的方程为：，整理得：5x+3y+60；（）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，（3）2+32+43+m0，得m3020如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为PC，PB的中点（）求证：PBDM；（）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值解：（I） 因为N是PB的中点，PAPB，所以
18、ANPB因为AD平面PAB，所以ADPB，从而PB平面ADMN因为DM平面ADMN，所以PBDM（）取AD的中点G，连结BG、NG，BG/CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等因为PB平面ADMN，所以BGN是BG与平面ADMN所成的角在RtBGN中，故所成的角的正弦值21已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求TMN的面积最小值解：（1）抛物
19、线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），y28x（2）如图，若k0，不妨设|QF|a，则|PF|2a设抛物线的准线为l，过点P作PHl垂足为H，过点Q作QGPH，垂足为G|PH|2a2|GH|，|PG|a在RTPQG中，|PG|a，|PQ|3a，得|QM|a，ktanQPG，同理k0时，（3）根据题意得AB，CD斜率存在设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，同理可得，当且仅当|m|1时，面积取到最小值1622已知椭圆C：+1过点A（2，1），且a2b（）求椭圆C的方程；（）过点B（4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x4于点P，Q求的值解：（）椭圆C：+1过点A（2，1），且a2b，则，解得b22，a28，椭圆方程为+1，（）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为yk（x+4），由，消y整理可得（1+4k2）x2+32k2x+64k280，32（4k21）0，解得k，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2，x1x2，则直线AM的方程为y+1（x+2），直线AN的方程为y+1（x+2），分别令x4，可得yP1，yQ|PB|yP|，QB|yQ|，|（2k+1）x1x2+（4k+2）（x1+x2）+8（2k+1），|1，故1
