1、浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（2-10班）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1已知直线a，b都与平面相交，则a，b的位置关系是（）A平行 B相交 C异面 D以上都有可能2已知向量满足,则（）A（4，4）B（2，4）C（2，2）D（3，2）3已知单位向量满足则（）AB2CD24如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A平行 B相交成60角 C异面成60角 D异面且垂直5如图所示，在ABC中，D、E分别为线段BC、AC上的两点，且|BD|DC|，则的值为（）AB CD6已知A，B是以点O为圆心半径为1的圆上的两个动点，且|
2、AB|，M为线段AB的中点，则的值为（）AB CD7古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（） A B C D8在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（）AB CD二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9下列关
3、于向量的运算，一定成立的有（）ABCD若，则10已知向量，则（）A BC D与的夹角为11给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（）A水平放置的角的直观图一定是角 B相等的角在直观图中仍然相等C相等的线段在直观图中仍然相等 D两条平行线段在直观图中仍是平行线段12如图，棱长为a的正四面体形状的木块，点P是ACD的中心劳动课上需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD， 则下列关于截面的说法中正确的是（）A截面不是平行四边形 B截面是矩形C截面的面积为 D截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD 三、填空题（共4小题，每小题5，共20分） 13已知向量（1，2），（1，），若，则实数
4、 14一个正四棱柱的顶点都在一个球面上，且侧棱长是底面边长的2倍，则这个球与四棱柱的表面积的比值为 15将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥底面半径为 ，圆锥的体积为 16定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的（m，n），（p，q），令mqnp，给出下面五个判断： 若与共线，则； 若与垂直，则； ； 对任意的R，有； 其中正确的有 （请把正确的序号都写出）四、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知（1，2），（3，2）（1）求证：不共线；（2）若3+4（m1）（2n） 求实数m，n的值；若，求证：对于任意的实数，为定值，并求出这个定值18（12分）正三棱柱ABCA1B1C1
5、中，D是BC的中点，AB=2，AA1=3（1）求三棱锥C1 -ABC的体积；（2）求证：A1B平面ADC1；（3）求异面直线A1B 、C1D所成的角的正弦值19（12分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F、H为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面（1）求证：CE平面BDH；（2）在棱BC上是否存在点G，使三棱锥EFBG的体积恰为几何体ABEPCDF的体积的？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由20（12分）如图，在直角梯形ABCD中，角是直角，ABAD2，点E为AB的中点，（1）当时，用表示；（2）求的最小值，及此时实
6、数的值 21（12分）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA2，AOP120，三棱锥A1APB的体积为（1）求圆柱OO1的表面积；（2）求异面直线A1B与OP所成角的余弦值 22（12分）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且AOB（为锐角点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M（1）求（结果用表示）；（2）若60求的取值范围； 设（0t1），记f（t），求函数f（t）的值域 北仑中学2020学年第二学期高一年级期中考试数学试卷答案一、单选题DACCCABA4如图所示，在ABC中，D、E分别为线段BC、AC上的两点，且|BD|DC|，则+的值为（）AB
7、CD【分析】由向量的线性运算可得+，可得aa+a，又A，M，D三点共线，则存在bR，使得b+（1b），则可建立关于a，b的方程组，即可求得a值，从而可得，进而得解【解答】解：因为|BD|DC|，所以，所以+（+）+，所以aa+a，又A，M，D三点共线，则存在bR，使得b+（1b）b+，所以，解得，所以+，因为，所以由平面向量基本定理可得，所以+故选：C6已知A，B是圆O：x2+y21上的两个动点，|AB|，M为线段AB的中点，则的值为（）ABCD【分析】根据向量的运算几何意义用表示，用向量数量积性质求解【解答】解：由题意得|OA|1，|OB|1，由余弦定理得cos，cos，（）故选：A【点评】
8、本题考查了向量运算的几何意义及运算规律，属于中档题二、多选题BC ACD AD BCD三、填空题 四、解答题17（1）略；（2）； （3）定值18、（1） ，（2），（3）略19（1）略；（2）存在20（1），（2），时21（1），（2）22如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且AOB（为锐角）点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M（1）求（结果用表示）；（2）若60求的取值范围；设（0t1），记f（t），求函数f（t）的值域【分析】（1）直接利用平面向量的数量积把用表示；（2）利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用BOC表示，化简整理后由BOC得范围求得的取值范围；设，则，由可得，整理得，然后把转化为含有t的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f（t）的值域【解答】解：（1）；（2）当60时，设BOC，由条件知，0，3；设，则，由可得，即，整理得，即而令，当a0时，g（0）1；当a0时，利用单调性定义可证明函数在（1，0）和（0，1）都是递减的，因此，或，函数值域是（0，2）【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，难度较大
