1、哈尔滨师大附中2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷东北师大附中辽宁省实验中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，
2、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1已知集合，则等于ABCD2复数AB1 + iCiD-i开始结束输入t输出S否是3点到抛物线y = ax2准线的距离为2，则a的值为ABC或D或4设Sn是公差不为零的等差数列的前n项和，且a1 0，若S5 = S9，则当Sn最大时，n =A6B7C8D95执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的A2012B2013C2014D20156下列命题中正确命题的个数是对于命题p：，使得，则：，均有；p是q的必要不充分条件，
3、则是的充分不必要条件；命题“若，则”的逆否命题为真命题；“”是“直线l1：与直线l2：垂直”的充要条件。A1个B2个C3个D4个第7题图7如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A6B8C10D128设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是ABCD9不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则的概率为ABCD10设二项式展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则ABCD111已知数列满足：，若数列的最小项为1，则m的值为ABCD12已知函数，若函数有
4、且只有两个零点，则k的取值范围为ABCD第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13向量a，b满足，则向量a与b的夹角为_。14三棱柱ABC - A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ACB = 120，CA = CB =，AA1 = 4，则这个球的表面积为_。15某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有_种不同选课方案（用数字作答）。16已知函数的图象关于直线x = 1对称，则_。三、
5、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知ABC的面积为2，且满足，则和的夹角为。（1）求的取值范围；（2）求函数的取值范围。18（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2。频率分布表1 频率分布直方图2分组（岁）频 数频 率50.050200.2000.35030100.100合 计1001.000（1）频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者的平均年龄；（2）在抽出的100名市民中，按
6、分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。ABCDPFE19（本小题满分12分）如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为1的正方形，PA底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点。（1）求证：EF平面PAD；（2）若PA = 2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角 Q - AP - D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由。20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且AF2与x轴垂直。（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B
7、，求AOB面积的最大值。21（本小题满分12分）已知a是实常数，函数，（1）若曲线在x = 1处的切线过点，求实数a的值；（2）若有两个极值点x1，x2（x1 x2）求证：；求证：。请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲CDMOBEA如图，在ABC中，ABC = 90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M。（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE BC = DM AC
8、+ DM AB。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设点，若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值。24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数。（1）解不等式；（2）若，使得，求实数m的取值范围。2015年东北三省三校第一次高考模拟考试理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCCBABCAACBC二、填空题13901464158416三、解答题17解：（1）
9、设ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，则由已知：， 4分可得，所以： 6分（2） 8分，即当时，；当时，所以：函数的取值范围是 12分18解：（1）由表知：，分别填35、0.300补全频率分布直方图如下： 2分年龄（岁）0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920253035404550频率组距 3分平均年龄估值为：岁6分（2）由表知：抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X的可能取值为0，1，2， 9分X的分布列为X012P 10分期望（人） 12分19证明：（1）取PD中点M，连接MF，MA在CPD中，F为PC的中点，MF平行且等于，正方形AB
10、CD中E为AB中点， AE平行且等于，AE平行且等于MF，故：EFMA为平行四边形，EFAM 2分又EF平面PAD，AM平面PADEF平面PAD 4分（2）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：，由题易知平面PAD的法向量为， 6分假设存在Q满足条件：设，设平面PAQ的法向量为， 10分，由已知：解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。 12分20解：（1）有已知：c = 2，故椭圆方程为 4分（2）当AB斜率不存在时： 6分当AB斜率存在时：设其方程为： 由，得 由已知： 即： 8分O到直线AB的距离： 10分，此时 综上所求：当AB斜率不存在或斜率为零时，AOB面积取最大值为 12
11、分21解：（1）由已知：，切点 1分切线方程：，把代入得：a = 1 3分（2）（I）依题意：有两个不等实根设，则：当时：，所以是增函数，不符合题意； 5分当时：由得：列表如下： x+0-极大值依题意：，解得：综上所求：，得证； 8分（II）由（I）知：，变化如下：xx1x2-0+0-由表可知：在上为增函数，所以： 10分又， 故由（I）知：，设，则成立，所以单调递减，故：，也就是综上所证：成立。 12分22选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连结OE，点D是BC的中点，点O是AB的中点， OD平行且等于，A=BOD，AEO = EOD，OA = OE，A = AEO，BOD = EOD 3分
12、在EOD和BOD中，OE = OB，BOD = EOD，OD = OD，EOD BOD，OED = OBD = 90，即OEBD是圆O上一点，DE是圆O的切线 5分（II）延长DO交圆O于点FEOD BOD，DE = DB，点D是BC的中点，BC = 2DB，DE、DB是圆O的切线，DE = DB，DEBC = DE2DB = 2DE2 7分AC = 2OD，AB = 2OFDM AC + DM AB = DM (AC + AB) = DM (2OD + 2OF) = 2DM DFDE是圆O的切线，DF是圆O的割线，DE2 = DM DF，DE BC = DM AC + DM AB 10分23选修4-4： 坐标系与参数方程 解：（1）由 ，得：， ，即，曲线C的直角坐标方程为 3分由，得，即，直线l的普通方程为 5分（2）将代入，得：，整理得：，由，即，解得：-1 m 3设t1、t2是上述方程的两实根，则， 8分又直线l过点，由上式及t的几何意义得，解得：或，都符合-1 m 3，因此实数m的值为1或或 10分24选修4-5： 不等式选讲解：（1）当x -2时，即，解得，又，；当时，即，解得，又，；当时，即，解得，又，. 3分综上，不等式的解集为. 5分（2）. 8分，使得，整理得：，解得：，因此m的取值范围是. 10分
