1、数学3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.了解直线的点斜式方程的推导过程.2.掌握直线的点斜式方程并会应用.3.掌握直线的斜截式方程,了解截距的概念.课标要求 数学知识梳理 1.直线的点斜式方程(1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 .x=x0 数学2.直线的斜截式方程(1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程 叫做直线l的斜
2、截式方程,简称斜截式.y=kx+b(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程.截距 直角 数学自我检测 1.(直线的点斜式方程)直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是()(A)2(B)-1(C)3(D)-3 2.(直线的点斜式方程)过点P(-2,0),斜率为3的直线方程是()(A)y=3x-2(B)y=3x+2 (C)y=3(x-2)(D)y=3(x+2)3.(直线的斜截式方程)直线y=2x-4在y轴上的截距为()(A)-2(B)2(C)-4(D)4 4.(直线的斜截式方程)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x
3、-4平行的直线的斜截式方程为 .答案:y=-3x+2 C D C 若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,则a=.5.(两直线平行或垂直关系)答案:38 数学课堂探究直线的点斜式方程 题型一【教师备用】使用直线的点斜式方程有什么条件?提示:点斜式方程使用的前提条件是直线的斜率存在,因此点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线,过点P(x1,y1),且与x轴垂直的直线方程可写成x=x1.数学【例1】根据下列条件写出直线的方程.(1)经过点A(-1,4),倾斜角为135;(2)经过点B(1,-2),且与y轴平行;(3)经过点C(-1,2),且与x轴平行.解:(1)因为倾斜角为13
4、5,所以k=tan 135=-1,所以直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.(2)因为直线与y轴平行,所以倾斜角为90,所以直线的斜率不存在,所以直线方程为x=1.(3)因为直线与x轴平行,所以倾斜角为0,所以y=2.数学题后反思 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0.数学解:(1)直线斜率为 tan 60=3,所以直线方程为 y-4=3(x+1).即时训练1-1:根据条件写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(-1,4),倾斜角为60;(2)经
5、过点B(4,2),倾斜角为90;(3)经过原点,倾斜角为60;(4)经过点D(-1,1),与x轴平行.(2)直线斜率不存在,直线平行于 y 轴,所以所求直线方程为 x=4.(3)直线斜率为 tan 60=3,所以所求直线的方程为 y=3 x.(4)直线斜率为 0,所以直线方程为 y=1.数学解:由题意知,kBC=6022=32,因为 ADBC,所以直线 AD 的斜率存在,且 kAD=-23.故直线 AD 的方程为 y+4=-23(x-1).【思维激活】已知ABC中,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),ADBC于D,求直线AD的方程.数学解:方程 y-1=4x-3 可化为 y-1=4(
6、x-34),由直线的点斜式方程知其斜率为 k=4,又因为直线 l 的斜率与直线 y-1=4x-3 的斜率互为负倒数,所以直线 l 的斜率为-14,又因为直线 l 过点 A(2,1),所以直线 l 的方程为 y-1=-14(x-2).【备用例1】已知直线l过点A(2,1),且斜率与直线y-1=4x-3的斜率互为负倒数,求直线l的方程.数学解:易知直线 l 与坐标轴不垂直.因为 l 过点 P(-5,-4),所以可设 l 的方程为 y+4=k(x+5)(k0),则直线 l 与 x 轴的交点为(4k-5,0),与 y 轴的交点为(0,5k-4).所以 l 与坐标轴所围成的三角形的面积 S=12|4k-
7、5|5k-4|=5,即(5k-4)2=10|k|.当 k0 时,方程可化为(5k-4)2=10k,解得 k=25或 k=85;当 k0 时,方程可化为(5k-4)2=-10k,此时方程无解.故所求直线的方程为 y+4=25(x+5)或 y+4=85(x+5).【备用例2】直线l经过点P(-5,-4),且l与坐标轴围成的三角形的面积为5,试求l的方程.数学直线的斜截式方程 题型二【教师备用】1.直线的斜截式方程与一次函数有何关系?提示:当k0时,斜截式方程y=kx+b是一次函数的形式;而一次函数y=kx+b中,k是直线的斜率,常数b是直线在y轴上的截距,一次函数表示直线,但是有些直线的方程不一定
8、能写成一次函数的形式.2.截距与距离有何区别?提示:截距与距离是两个不同的概念,截距b可以大于等于或小于0,而距离只能是非负的实数.数学解:已知直线 y=3 x+1 的斜率为 kl=3,所以直线 l的倾斜角为 60,所以直线 l 的倾斜角为 30,设直线 l 的斜截式方程为 y=kx+b,则 k=tan 30=33,又直线 l 过点(3,4),所以 4=33 3+b,所以 b=4-3,所以直线 l 的方程为 y=33 x-3+4.【例 2】直线 l的方程是 y=3 x+1,直线 l 的倾斜角比直线l的倾斜角小 30,且直线 l 过点(3,4),求直线 l 的方程.数学题后反思 直线的斜截式方程
9、的求解策略(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.数学解析:(1)因为倾斜角=30,所以斜率 k=tan 30=33,故所求直线的斜截式方程为 y=33 x-3.(1)倾斜角为30,在y轴上的截距是-3的直线的斜截式方程为 ;(2)直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为 .即时训练2-1:(2)由题意可知直线 l1的斜率为 3.设其方程为 y=3x+b,代入点(3,5)可得,5=33+b,所以 b=-4.故所求方程为 y=3x-4
10、.答案:(1)y=33 x-3(2)y=3x-4 数学平行与垂直的应用 题型三 解:(1)设两直线的斜率分别为 k1、k2,则 k1=a,k2=a+2.因为两直线互相垂直,所以 k1k2=a(a+2)=-1.解得 a=-1.所以当 a=-1 时,两条直线互相垂直.【例3】当a为何值时,(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?(2)设两直线的斜率分别为 k3,k4,则 k3=-1,k4=a2-2.因为两条直线互相平行,所以221,44,aa 解得 a=-1.所以当 a=-1 时,两直线互相平行.数学题后反思 设直线l1和
11、l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,那么l1l2k1=k2且b1b2;k1=k2且b1=b2 两条直线重合;l1l2k1k2=-1.数学解:(1)法一 因为 l 与 y=-2x+5 平行,所以 kl=-2,由直线的点斜式方程,知 y+3=-2(x-2).法二 已知直线方程为 y=-2x+5,而 l 与其平行,所以 y=-2x+b,又过点(2,-3),所以 b=1,所以 l 的方程为 y=-2x+1.即时训练3-1:已知直线l过点A(2,-3).(1)若l与直线y=-2x+5平行,求其方程;(2)若l与直线y=-2x+5垂直,求其方程.(2)法一 因为 l 与 y=-2x+5 垂直,所以 kl=12,由直线的点斜式方程知 y-(-3)=12(x-2).法二 因为直线 y=-2x+5 的斜率为-2,l 与其垂直,所以可设 l 的方程为 y=12x+c,又因为过点(2,-3),所以 c=-4,所以 l 的方程为 y=12x-4.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
