1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。22双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质必备知识自主学习导思1.双曲线的几何性质主要有哪些？2什么叫等轴双曲线？1.双曲线的简单几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为.(1)椭圆中要求ab0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？提示：不是，在双曲线中，a，b没有大小关系，只需a0，b0.(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？提示：以双曲线1(a0，b0)为例e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越
2、大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()(2)双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关()(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线()提示：(1).双曲线1与1(a0，b0)的形状相同，但是位置不一样(2).双曲线1的渐近线方程为yx；双曲线1的渐近线方程为yx.(3).等轴双曲线的渐近线方程都是yx.(4).等轴双曲线的离心率是.2双曲线1的顶点坐标是()A(5，0) B(5，0)或(0，3)C(4，0) D(4，0)或(0，3)
3、【解析】选A.因为双曲线的顶点在x轴上，又因为a5，所以顶点为(5，0)和(5，0).3双曲线3x2y23的渐近线方程是()Ay3x ByxCyx Dyx【解析】选C.令x20，则yx.4已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2 B4 C6 D8【解析】选B.因为双曲线1(a0，b0)的两条渐近线为yx，因为两条渐近线互相垂直，所以21得ab，因为双曲线焦距为4，所以c2，由c2a2b2可知2a28，所以a2，所以实轴长为2a4.关键能力合作学习类型一双曲线的几何性质(逻辑推理、直观想象)1双曲线1的左顶点到其渐近线的距离为()A2 B C D3
4、2已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx3已知双曲线1(a0)的一条渐近线为yx，则实数a_.【解析】1.选C.由双曲线1，得a29，b216，所以双曲线1的左顶点坐标为(3，0)，其一条渐近线方程为yx，即4x3y0.由对称性得左顶点到其渐近线的距离为d.2选C.e，又因为在双曲线中，c2a2b2，所以e21，故，所以双曲线C：1的渐近线方程为yxx.3双曲线1(a0)的一条渐近线为yx，可得，解得a1.答案：1由双曲线方程研究几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、
5、离心率、渐近线方程(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用如过双曲线1的左焦点F1(c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|.(5)双曲线中c2a2b2，易与椭圆中a2b2c2混淆【补偿训练】1.(2020遵义高二检测)双曲线-y2=1的焦点到渐近线的距离是()A.1B. C. D.2【解析】选A.双曲线-y2=1的渐近线为y=x，a2=3，b2=1，c2=a2+b2=3+1=4，即c=2，设一个焦点F(2，0)，渐近线方程为x+y=0，则焦点F到其渐近线的距离d=1.2.已知双曲线的方程为-=1，则下列关于双
6、曲线说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为2C.离心率为D.渐近线方程为2x3y=0【解析】选D.根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为-=1，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为-=1，其中a=2，b=3，则c=，则焦距为2，则B错误；对于C，双曲线的方程为-=1，其中a=2，b=3，则c=，则离心率为e=，则C错误；对于D，双曲线的方程为-=1，其中a=2，b=3，则渐近线方程为2x3y=0，则D正确.类型二利用双曲线的几何性质求双曲线的方程(数学运算)【典例】1.已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O
7、为原点)，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx212渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)的双曲线的方程为_.【思路导引】1.OAF是边长为2的等边三角形求c和点A的坐标渐近线的斜率求a，b2方法一：待定系数法求解，分焦点在x轴和y轴上两种情况求解方法二：巧设参数，代入点的坐标，求解即可【解析】1.选D.不妨设点A在第一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21.2方法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解若焦点
8、在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.方法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0).因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.答案：1巧设双曲线方程的方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，将点(2，0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，
9、可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若PF1F230，则C的离心率为()A1 B C D12(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_【思路导引】1.先设F1F22c，由题意知F1F2P是直角三角形，利用PF1F230，求出|PF1|，|PF2|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得2根据双曲线的几何性质可知，ca，即可根据斜率列出等式求解即可【解析】1.选A.设F1F22c，
10、由题意知F1F2P是直角三角形，又因为PF1F230，所以|PF1|c，|PF2|c，所以|PF1|PF2|cc2a，所以e1.2依题可得，3，而，ca，即3，变形得c2a23ac3a2，化简可得，e23e20，解得e2或e1(舍去).答案：21求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求离心率2求离心率的范围技巧(1)根据条件建立a，b，c的不等式(2)通过解不等式得或的范围，求得离心率的范围1.(2020合肥高二检测)如图所示，F1和F2分别是
11、双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则离心率为()A1 BC1 D【解析】选C.连接AF1，则F1AF290，AF2B60.所以c，c，所以cc2a，所以e1.2已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，tan F1MF22，则双曲线E的离心率为()A2 B2 C D【解析】选C.不妨设M(c，y)，y0，代入双曲线方程得y，所以M，2c，tan F1MF22，b2ac0，即c2aca20，e2e0，0，所以e.【补偿训练】若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2
12、) C(1，) D【解析】选C.c2a21，e21.因为a1，所以01，1e22，则1e.备选类型双曲线的实际应用问题(数学建模)【典例】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？【思路导引】建立平面直角坐标系，表示每个点的坐标，根据条件中的数量关系得到点P在线段BC的垂直平分线上和以A，B为焦点
13、的双曲线的右支上，求出方程并联立方程求解即可得到结果【解析】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0)，C(5，2)，因为|PB|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，又易知kBC，线段BC的中点D(4，)，所以直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，所以双曲线方程为1(x2)联立，得P点坐标为(8，5)，所以kPA，因此甲舰行进的方向角为北偏东30.本题考查平面直角坐标系的应用，考查直线方程和双曲线方程在实际中的应用，根据实际问题建立合适的
14、坐标系并求得满足条件的方程是本题的关键如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号每秒传播V0千米).(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？【思路导引
15、】(1)根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；(2)AC垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；(3)根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可【解析】(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P，因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，故V04060，故点P的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为1(x0).由题可知2a40，2c60，解得b2c2a2500，故点P的轨迹方程为1(x0).(2)因为A，C，设AC的垂直平分线方程为ykx，则k1，则AC的垂直平分线方程为yx，联立1(x0)，可得x2，故x20，y20，故观察员遇险地点坐标为，与监测中心O的
16、距离为20(km).(3)设轨迹上一点为P，则，又因为1，可得x2y2400，代入可得20，当且仅当y时，取得最小值20.故扫描半径r至少是20 km.课堂检测素养达标1已知双曲线方程为x28y232，则()A实轴长为4，虚轴长为2B实轴长为8，虚轴长为4C实轴长为2，虚轴长为4D实轴长为4，虚轴长为8【解析】选B.双曲线方程x28y232化为标准方程为1，可得a4，b2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.2下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为yx的是()Ax21 By21Cx21 Dy21【解析】选D.从选项知，焦点在y轴上的双曲线有x21与y21，而x21的渐近线方程是y2x，y21
17、的渐近线方程是yx，可知D项正确3若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A B C D【解析】选D.因为双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，所以3b4a，所以9(c2a2)16a2，所以e.4已知双曲线C：1的离心率为，O为坐标原点，过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N，且OMN为直角三角形，若SONM，则双曲线C的方程为()A1 B1Cy21 D1【解析】选C.由于双曲线C的离心率为e，所以，可得ab，c2b，设点M，N分别为直线yx，yx上的点，且MNON，则直线MN的方程为y，联立解得所以点N，则b，易知MON，所以tan b3b，所以SONMb2，解得b1，所以a，因此双曲线C的方程为y21.5(教材二次开发：练习改编)已知双曲线1的离心率是，则n_.【解析】当焦点在y轴上时，解得n12，当焦点在x轴上时，双曲线标准方程为1，解得n6，综上得n12，或n6.答案：6或12关闭Word文档返回原板块
