1、数学1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.课标要求 数学知识梳理 1.柱体、锥体、台体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的 和.面积(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 S 圆柱=2 r(r+l),r 为 ,l 为 圆锥 S 圆锥
2、=r(r+l),r 为 ,l 为 圆台 S 圆台=(r2+r2+rl+rl)r为 ,r 为 ,l 为 底面半径 侧面母线长 底面半径 侧面母线长 上底面半径 下底面半径 侧面母线长 数学2.柱体、锥体与台体的体积公式 几何体 体积 说明 柱体 V 柱体=Sh S 为柱体的 ,h 为柱体的 锥体 V 锥体=13Sh S 为锥体的 ,h 为锥体的 台体 V 台体=13(S+S S+S)h S,S 分别为台体的 ,h为台体的 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 数学自我检测 C 1.(求侧面积)(2014 大连高一期末)圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2,则圆柱侧面展开图的面积为()(A)4
3、(B)42 (C)8 (D)82 2.(体积公式)(2015 大同一中高二(上)月考)圆锥的高扩大到原来的 2倍,底面半径缩短到原来的 12,则圆锥的体积()(A)缩小到原来的一半 (B)扩大到原来的 2 倍(C)不变 (D)缩小到原来的 16 A 数学3.(求体积)(2015安庆市石化一中高二(一)期中)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为()(A)15 (B)30 (C)12 (D)36 4.(求表面积)(2015大同一中高二(上)月考)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()(A)7(B)6(C)5(D)3 C A 数学课
4、堂探究空间几何体的表面积 题型一【教师备用】1.三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形?提示:三棱柱上、下底面是三角形,侧面展开图为矩形;三棱锥各面均是三角形;三棱台上、下底面是三角形,侧面为梯形.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么?提示:圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形;圆台的侧面展开图是扇环.数学【例 1】(2015 大同一中高二(上)月考)如图,在底面半径为 2 母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3 的圆柱,求圆柱的表面积.解:设圆锥的底面半径为 R,圆柱的底面半径为 r,表面积为 S,则由三角形相似得 r=1,所以 S 底=2,S 侧=23,所以 S=(2+2
5、3).数学题后反思 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和.(2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决.(3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆台通常还要还原为圆锥.数学解析:由题中三视图可知,该多面体是棱长为 2 的正方体去掉两个全等的三棱锥后得到的几何体,因此其表面积为 622-6 12 11+234(2)2 =21+3,故选 A.即时训练 1 1:(2014 高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()(A)21+3 (B)18+3 (C)21(D)1
6、8 数学空间几何体的体积 题型二【例2】(2015大同一中高二(上)月考)如图,已知正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高,若AC=6 cm,VC=5 cm,求正四棱锥V-ABCD的体积.解:因为四棱锥 V ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,且对角线 AC=6 cm,所以 BD=6 cm,且 ACBD,所以 SABCD=12 ACBD=12 66=18(cm2),因为 VM 是棱锥的高,且 VC=5 cm,所以 RtVMC 中,VM=22VCMC=2253=4(cm),所以正四棱锥 V ABCD 的体积为 V=13 SABCDVM=13 184=
7、24(cm3).数学题后反思 (1)常见的求几何体体积的方法 公式法:直接代入公式求解.等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.(2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.数学即时训练2-1:(2015吕梁学院附中高二(上)月考)如图所示,则这个几何体的体积等于()(A)4(B)6(C)8(D)12 解析:由三视图复原几何体,如图.它的底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面且高为 2 的四棱锥,其体积 V=13 2
8、4222=4,故选 A.数学组合体的表面积与体积 题型三【例3】(2015吕梁学院附中高二(上)月考)如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.数学(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q A1D1P 的组合体.由 PA1=PD1=2,A1D1=AD=2,可得 PA1PD1.故所求几何体的表面积 S=522+2 12 21+22 2=22+42 (cm2),所求几何体的体积 V=23+12(2)22=10(cm3).解:(1)这个几何体的直观图如图所示.数学题后反思 求组合体表面积与体积时应
9、注意的问题(1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减;求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义,以确保不重复、不遗漏.数学即时训练 3 1:(2015 山西山大附中高二(上)月考)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为()(A)433(B)(4+)3 (C)832(D)836 数学解析:由三视图知,几何体是一个组合体,是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体,圆锥的底面
10、直径和母线长都是 2,四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形,四棱锥的高与圆锥的高相同,高是2221=3,所以几何体的体积是 12 13 3+13 223=8 3+36,故选 D.数学【备用例题】(2015 安庆市石化一中高二(上)期中)已知正方体 ABCD A1B1C1D1,E,F 是 BD 上的动点,P 是 AD1 上的动点,则()(A)1C C EFV=1A C EFV=1P C EFV (B)1C C EFV=1A C EFV 1P C EFV (D)1C C EFV 1A C EFV 1P C EFV 数学解析:如图(1),1C C EFV=1CCEFV=13SCEFAA1.如图(2),在平面 ABCD 中,点 A 到 BD 的距离与点 C 到 BD 的距离相等.SAEF=SCEF.1A C EFV=1CAEFV=13SAEFAA1.如图(3),点 P 是 AD1 上的点,当点 P 与 A 重合时,1P C EFV=1A C EFV.(1)(2)(3)由于 A 到平面 C1EF 的距离等于 P 到平面 C1EF 的距离 所以1P C EFV=1A C EFV,选 A.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
