1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 基础巩固一、选择题1对于数据 3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.这组数据的众数是 3；这组数据的众数与中位数的数值都不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的值相等其中正确的结论的个数()A1 B2C3D4答案 A解析 在这 11 个数据中，数据 3 出现了 6 次，概率最高，故众数是 3；将这 11 个数据按从小到大排列得 2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是 3，故中位数是 3；而平均数 x 22366210114.2(2015安徽卷)若样本数据 x1，x2，x10 的标准差为 8，则
2、数据 2x11,2x21，2x101 的标准差为()A8B15C16D32答案 C解析 样本数据 x1，x2，x10，其标准差 Dx8，则 Dx64，而样本数据 2x11,2x21，2x101 的方差 D(2x1)22Dx2264，其标准差为 226416.故选 C.3为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如下图所示，假设得分值的中位数为 me，众数为 mO，平均值为 x，则()AmemO xBmemO xCmemO xDmOme x答案 D解析 由图可知，30 名学生的得分情况依次为：2 个人得 3 分，3 个人得 4 分，10 个人得
3、5分，6 个人得 6 分，3 个人得 7 分，2 个人得 8 分，2 个人得 9 分，2 个人得 10 分中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数，即 me5.5,5 出现次数最多，故 mO5，x 233410566372829210305.97.于是 mOme x.故选 D.4为了稳定市场，确保农民增收，某农产品 7 个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前 6 个月的市场收购价格：月份123456价格(元/担)687867717270则前 7 个月该产品的市场收购价格的方差为()A.757
4、B.767C11 D.787答案 B解析 设 7 月份的市场收购价格为 x，则 y(x71)2(x72)2(x70)23x2426x15125，则当 x71 时，7 月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则 7 月份的市场收购价格为 71.则计算得前 7 个月该产品的市场收购价格的平均数是 71，方差是767.5(2013安徽)某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A这
5、种抽样方法是一种分层抽样B这种抽样方法是一种系统抽样C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案 C分析 根据抽样方法的概念可判断选项 A，B；分别把数据代入方差和平均数的公式可判断选项 C，D.解析 若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取 6 人、4 人，所以 A 错；由题目看不出是系统抽样，所以 B 错；这五名男生成绩的平均数 x 18694889290590，这五名女生成绩的平均数 x 28893938893591，故这五名男生成绩的方差为15(8690)2(9490)2(8890)2(9290)2(9090)28，这五名女生成绩的
6、方差为15(8891)22(9391)236，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以 D 错6(2015山东临沂高一月考)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100 名司机，已知抽到的司机年龄都在20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A31,6 岁B32.6 岁C33.6 岁D36.6 岁答案 C解析 根据所给的信息可知，在区间25,30)上的数据的频率为 1(0.010.070.060.02)50.
7、2.故中位数在第 3 组，且中位数的估计为 30(3530)5333.6(岁)二、填空题7由正整数组成的一组数据 x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是 2，且标准差等于 1，则这组数据为_(从小到大排列)答案 1,1,3,3解析 不妨设 x1x2x3x4，得：x2x34，x1x2x3x48x1x44，s21(x12)2(x22)2(x32)2(x42)24如果有一个数为 0 或 4；则其余数为 2，不合题意；只能取|x12|1；得：这组数据为1,1,3,3.8阶段考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M，如果把 M 当成一个同学的分数，与原来的 40 个分数一起，算出
8、这 41 个分数的平均分为 N，那么 MN 为_答案 1解析 Mx1x2x4040，Nx1x2x40M4140MM41M，故 MN1.三、解答题9(2013新课标全国卷)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：06 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.235 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.123 2.4服用 B 药
9、的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：32 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.314 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.227 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解析(1)设 A 药观测数据的平均数为 x，B 药观测数据的平均数为 y.由观测结果可得x 120(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，y 120(0.50.50.60.80.91.11.21.2
10、1.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得 x y，因此可看出 A 药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 710的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有 710的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好名师点睛 从平均数上分析，甲、乙中平均数大的效果较好；从茎叶图上分析，要看甲、乙的叶在哪些茎上分布的比率大如果甲的叶在某茎上分布的比率大，且该茎所对应的数据较大，那么甲的效果就较好10某学校高一(1)班和高一(2)班各有 49 名学生，两班在一次数学测验中的成绩
11、统计如下：班级平均分众数中位数标准差(1)班79708719.8(2)班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为 79 分，得 70 分的人最多，我得了 85 分，在班里算上上游了！”(2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议分析(1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析；(2)结合方差的意义来提出建议解析(1)由于(1)班 49 名学生数学测验成绩的中位数是 87，则 85 分排在全班第 25 名之后，所以从位次上看，不能说 85 分是上游，成绩应该属于中游但也不能以位次来判断
12、学习的好坏，小刚得了 85 分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游(2)班成绩的中位数是 87 分，说明高于 87 分(含 87)的人数占一半以上，而平均分为 79 分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助班的中位数和平均数都是 79 分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率能力提升一、选择题1某校高一、高二年级各有 7 个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()A高一的中位数大，高二的平均数大B高一的平均数大，高二的中位数大C高一的
13、平均数、中位数都大D高二的平均数、中位数都大答案 A解析 由茎叶图可以看出，高一的中位数为 93，高二的中位数为 89，所以高一的中位数大由计算得，高一的平均数为 91，高二的平均数为 9237，所以高二的平均数大2(2013重庆)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为()A2,5B5,5C5,8D8,8答案 C分析 观察茎叶图，由中位数的概念可得 x 的值，由平均数的计算公式可得 y 的值解析 由于甲组的中位数是 15，可得 x5，由于乙组数据的平均数为 16.8，得
14、y8.3(2013山东)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示：则 7 个剩余分数的方差为()A.1169B.367C36 D.6 77答案 B分析 根据茎叶图和平均数的计算公式求出 x，然后根据方差的计算公式计算方差解析 由图可知去掉的两个数是 87,99，所以 879029129490 x917，解得 x4.故 s217(8791)2(9091)22(9191)22(9491)22367.4(2015四川省绵阳中学期末检测)在某地区某高传染性病毒流行期间，
15、为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7 天每天新增感染人数不超过 5”，根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是()平均数 x3；标准差 s2；平均数 x3 且标准差 s2；平均数 x3 且极差小于或等于 2；众数等于 1 且极差小于或等于 4.ABCD解析 本题考查平均数、标准差、极差、众数的统计意义假设连续 7 天新增病例数为0,3,3,3,3,3,6，易知满足平均数 x3 且标准差 x2，但是不符合指标，所以错误若极差等于 0 或 1，在平均数 x3 的条件下显然符合指标；若极差等于 2，则极小值
16、与极大值的组合可能有：(1)0,2；(2)1,3；(3)2,4；(4)3,5；(5)4,6.在平均数 x3 的条件下，只有(1)(2)(3)成立，且显然符合指标，所以正确又易知正确，故选 D.答案 D二、填空题5某学员在一次射击测试中射靶 6 次，命中环数如下：9,5,8,4,6,10则(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_答案(1)7(2)143分析 直接把数据代入平均数和标准差计算的公式可解解析(1)由公式知，平均数为16(9584610)7.(2)由标准差公式知，s216(441919)143.6如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为_答案
17、46解析 根据频数分布直方图，可估计有 4 人成绩在0,20)之间，其考试分数之和为 41040；有 8 人成绩在20,40)之间，其考试分数之和为 830240；有 10 人成绩在40,60)之间，其考试分数之和为 1050500；有 6 人成绩在60,80)之间，其考试分数之和为 670420；有 2人成绩在80,100)之间，其考试分数之和为 290180，由此可知，考生总人数为 48106230，考试总成绩为 402405004201801 380，平均数1 38030 46.三、解答题7(2014全国高考卷)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测
18、量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？解析(1)(2)质量指标值的样本平均数为x 800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为s2(20)20.06(10)20.2600.38(10)20.22(20)
19、20.08104.(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.380.220.080.68.由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品80%”的规定8(2015广东省惠来高一阶段考试)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.分组频数频率10,15)100.2515,20)24n20,25)mp25,3020.05合计M1(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；(2)若该校高三学生有 2
20、40 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数解析(1)由分组10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，知10M0.25，所以 M40.因为频数之和为 40，所以 1024m240，m4，pmM 4400.10.因为 a 是对应分组15,20)的频率与组距的商，所以 a 244050.12.(2)因为该校高三学生有 240 人，分组在10,15)内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是1520217.5.因为 n24400.6，所以样本中位数是 150.50.25a17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是 17.1，样本平均人数是 12.50.2517.50.622.50.127.50.0517.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是 17.25.
