1、天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014-2015学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（文科）【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的. 第I卷【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】(1)集合 ，则 (A)(-,1U(2,+) (B) (C)1，2)
2、(D)(1，2【知识点】集合 A1【答案】【解析】D 解析：所以D正确.【思路点拨】根据交集的概念可求出正确结果.【题文】(2)已知i是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于 (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4【答案】【解析】D 解析：因为=，所以此复数在复平面内所对应的点位于第一象限. 【思路点拨】先把复数化为a+bi形式，再由复数的几何意义得结论. 【题文】(3)已知数列 的通项为 ,，则“ ”是“ ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条
3、件. A2【答案】【解析】A 解析：因为，所以对于n恒成立，所以”是“ ”的充分不必要条件 . 【思路点拨】先求出的条件，再根据充分性、必要性的判定方法确定结论. 【题文】(4)双曲线 的一条渐近线与直线 X+2y +1 =0垂直， 则双曲线C的离心率为 (A) (B) ( C) (D) 【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】C 解析：双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=x，渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2，=2, 即双曲线的离心率故答案为C【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率
4、为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率【题文】 (5)已知 是定义在R上的奇函数，且当x0对， (A) (B) (C) (D) 【知识点】奇函数的性质；分段函数的应用. B4【答案】【解析】C 解析：因为，所以，故选 C. 【思路点拨】根据奇函数的性质，以及分段函数的函数值的意义求解. 【题文】(6)已知圆 与抛物线 的准线交于A，B两点，且 ，则圆C的面积为 ( A)5 (B)9 (C)16 (D)25 【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】D 解析:由题可知抛物线的准线方程为，圆心坐标为，所以圆心到弦AB的距离为3，弦的一半为4，所以圆的半径为5，所以圆的面积为.【
5、思路点拨】由直线与圆的位置关系可求出半径，只需要利用抛物线的准线方程即可.【题文】(7)在平面直角坐标系 xOy中，设不等式组 ，表示的平面区域为D，在D内任取一整点P（横、纵坐标都是整数）测P落在区域 内的概率为 ( A) (B) (C) (D) 【知识点】线性规划 E5【答案】【解析】C 解析：根据可行域可知在区域D内的整点共有12个点，而落在区域内的点有5个所以概率为，所以C正确【思路点拨】可以通过列举法写出可行域中的点，再求出概率.【题文】 (8)设 ，则它们的大小关系为 (A)abc (B)acb (C)bca (D)cab【知识点】三角函数 C2【答案】【解析】A 解析：, , ,
6、所以，所以A为正确选项.【思路点拨】由三角函数的诱导公式及三角函数的单调性可求出结果. (9)函数 的大致图象是 【知识点】函数图像的确定. B8 【答案】【解析】C 解析：因为f(0)= -3,所以排除选项A、B；又因为时，,所以排除选项D,故选 C. 【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项. 【题文】(10)如图的几何体是长方体 的一部分，其中 则该几何体的外接球的表面积为(A (B) (C) ( D)【知识点】几何体的结构. G1【答案】【解析】B 解析：该几何体的外接球即长方体的外接球，而若长方体 的外接球半径为R ，则长方体的体对角线为2R，所以，所以该几何体的外接球的表面积
7、，故选 B. 【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体的外接球的关系，进而得结论. 【题文】(11)执行如图所示的程序框图，输出的S为 (A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009【知识点】算法与程序框图. L1【答案】【解析】B 解析：根据程序框图得执行的结果是计算：=1007，故选B .【思路点拨】根据程序框图描述的意义，得其运行结果是计算的值. 【题文】(12)已知函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 (A) (B) ( C) (D) 【知识点】导数 B11【答案】【解析】D 解析：根据恒成立，所以函数在时单调递增，所以，不等式恒成立，所以D正确.【思
8、路点拨】根据函数的导数确定函数的单调性，确定在定义域下的取值，最后再求出m的取值范围. 第卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分【题文】(13)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如下表由最小二乘法求得回归方程为=0. 67x+54.9现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_.【知识点】最小二乘法；线性回归方程 I4【答案】【解析】68 解析：设表中有一个模糊看不清数据为m由表中数据得：，=，由于由最小二乘法求得回归方程=0. 67x+54.9将x=30，y=代入回归直线方程，得m=68故答案为：68【思路点拨】根据表中
9、所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0. 67x+54.9代入样本中心点求出该数据的值【题文】（14）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现， 当天正在放映A，B，C，D，E五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片： 小赵说：只要不是B就行； 小张说：B，C，D，F都行； 小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行； 小刘说：除了E之外，其他的都可以 据此判断，他们四人可以共同看的影片为_【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：小赵可以看的电影的集合为：A,C,D,E,，小张可以看的电影的集合为B,C,D,
10、E，小李可以看的电影的集合为：A,B,D,E，小刘可以看的电影的集合为：A,B,C,D，这四个集合的交集中只有元素D ，故填D .【思路点拨】分别找出小赵、小张、小李、小刘四人各自可以看的电影的集合，然后求这些集合的交集即可. 【题文】(15)ABC中， ，若 ，则 =_.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F2 F3【答案】【解析】 解析：因为,所以. 故填. 【思路点拨】先把用表示，再用向量数量积的运算性质求解. 【题文】(16)已知数列满足，则数列的前10项的和为_.【知识点】数列 D1【答案】【解析】解析：由条件可计算【思路点拨】根据条件分别求出各项，再求出前10项的和.三、
11、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】(17)（本小题满分10分） 已知向量 ，记 (I)若 ，求 的值； ()将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，若函数 在 上有零点，求实数k的取值范围【知识点】向量与三角函数 C3 F3【答案】【解析】(I)1(II) 解析：(I)由已知得，于是(II)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则因为，所以，所以，若函数在上的最大值为，最小值为0.【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的取值. 【题文】(18)（本小题满分12分） 设等差数列 的前n项和为 ， 数列 的前n项和为满足 (I)求数列
12、的通项公式及数列 的前n项和； ()是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由【知识点】数列的性质 D3【答案】【解析】(I) (II)略 解析：(I)设数列的公差为d,由，解得因此的通项公式是所以，从而前n项的和为(II)因为,当时，：当时，所以，若是等比数列，则有而，所以矛盾，故不存在非零实数使数列为等比数列.【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前n项和，再通过项的关系判定不是等比数列.【题文】 (19)（本小题满分12分）已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对6月份的游客量作出如图的统计数据：(I)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求a，b的值；(
13、)估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；()某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为优的概率【知识点】统计与概率 I2 K1【答案】【解析】(I) (II) 解析：(I)游客人数在范围内的天数有15天，故（II）由题可得游客人数的平均数为（百人）（III）从5天中任选两天的选择方案方法有：共10种,其中游客拥挤等级均为优的有，共3种，故所求的概率为.【思路点拨】由题目中的条件可直接求出平均值，再用列举法求出概率的值. 【题文】(20)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD中，ADDB，其中三棱锥
14、P- BCD的三视图如图所示，且 (I)求证：AD PB()若AD=6，求四棱锥P-ABCD的体积。【知识点】空间几何体 G2【答案】【解析】(I)略(II) 解析：由三视图可知又，又(II) 所以四棱锥的体积为【思路点拨】由三视图可知线段之间的关系，再用分割求出体积.【题文】 (21)（本小题满分12分） 已知函数 ，其中e为自然对数的底数 (I)当a= -1时，若不等式 恒成立，求实数k的最大值； ()若方程 没有实数根，求实数a的取值范围【知识点】函数恒成立问题 B9 B11【答案】【解析】(I) (II) e2a0 解析：（1）由题意得，x+1kex恒成立，即k恒成立；令F（x）=，则
15、F（x）=；故F（x）=在（，2）上是减函数，在2，+）上是增函数，故F（x）F（2）=e2；故实数k的最大值为e2；（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=ex的图象与y=f（x）=a（x1）的图象没有交点；作g（x）=ex与y=f（x）=a（x1）的图象如右图，设g（x）=ex与y=f（x）=a（x1）相切于点（x，ex）；则ex=，解得x=2；则结合图象可知，故0ae2；故e2a0【思路点拨】（1）不等式f（x）kg（x）恒成立可化为k恒成立；令F（x）=，求导确定函数的最小值，从而求实数k的最大值；（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=ex的图象与
16、y=f（x）=a（x1）的图象没有交点；结合图象求实数a的取值范围【题文】 (22)（本小题满分12分） 已知椭圆 )过点 ，且离心率 ，直线 与E相交于M，N两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点，0为坐标原点 (I)求椭圆E的方程： ()判断是否存在直线，满足 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8【答案】【解析】(I) (II) y=或y= 解析：（1）由已知得：，解得：a2=2，b2=1椭圆E的方程为；（2）如图，假设存在直线l：y=kx+m（k0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，交x轴于C（c，0），交y轴于D（0，d）
17、，由2=+，2=+，得，即C、D为线段MN的三等分点由y=kx+m，取y=0，得c=，即C（），取x=0，得d=m，即D（0，m）联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0 ，若C、D为线段MN的三等分点，则，解得：，k=当k=时，方程化为解得：由，解得：m=同理求得当k=时，m=满足条件的直线l存在，方程为：或y=【思路点拨】（1）把点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）把给出的向量等式变形，得到C、D为M、N的三等分点，设出直线l的方程y=kx+m（k0），和椭圆方程联立，利用四个点坐标间的关系求得k，代入关于x的方程后求得M的坐标，再由中点坐标公式列式求得m的值，则直线方程可求
